[물리1칼럼] 아직까지 v-t 그래프부터 그리나요?

안녕하세요! 오늘부터 가끔 국어나 물리에 관련된 칼럼을 올릴 오늘의 물리 입니다.

예전부터 눈팅이나 하면서 정보를 얻어가곤 했는데, 

여유로운 시기를 맞아 저도 여러가지 정보를 나누고 싶어 시작하게 되었습니다.

처음 올리는 칼럼이라 어색하기도 하고 이곳 분위기도 잘 알지 못하지만, 확실한 지식만을 전달해드리기 위해 노력할테니 잘 봐주시면 좋겠습니다...!

물리1을 시작하는 많은 분들이 1단원에서 물리를 놓고 다른 과목으로 빠져나가곤 합니다.

물리1과목 특성상 한번 감을 잡아두면 이런 꿀과목이 없는데, 감이 잡히기까지 시간이 매우 오래 걸리죠.

특히 그중에서도 등가속도운동부터 시작하는 역학파트는 수험생의 멘탈을 깨뜨리기에 안성맞춤입니다.

항상 물체를 밀고 당기고, 도르래에 걸고, 자동차가 달리는데 옆에선 자전거로 따라가고... 어찌보면 가장 일상적인 상황이지만 문제로 마주하게 되면 하나같이 이런 생각을 합니다.

"어디부터 시작해야 하지?"

마치 수학 킬러문제처럼 많은 수험생은 문제를 보자마자 겁먹고 우왕좌왕하기 시작합니다.

이는 역학문제가 문제에 필요한 조건을 한 번에 주기 때문이죠.

우리가 과외선생님과 수학 킬러문제를 푼다고 생각해봅시다. 과외선생님은 이렇게 말하죠.

"여기 문제에 조건이 이만큼 있어. 이제 문제를 풀어보렴."

그렇습니다. 우리는 수학 30번을 풀지 못합니다.(여긴 풀 수 있는 똑쟁이분들이 가득하시겠지만 못풀었던 과거의 자신을 떠올리며 읽어봅시다.)

그럼 이번엔 선생님이 이렇게 말하면 어떨까요?

"문제를 못 푸네? 봐봐, 여기 1번조건 있지? 이게 의미하는게 뭘까? 거기서 3번조건을 봐봐. 연결되지 않니?"

이렇게 실마리를 잡아갑니다. 이렇게 계속 선생님이 옆에서 방향을 잡아주면, 아무리 어려운 문제도 모두 풀 수 있죠.

둘의 가장 큰 차이점은 "방향성"을 제시했는가? 입니다. 

문제를 풀다보면 소위 말하는 비킬러문제들은 방향성이 확실합니다. 문제에서 뭔가를 물어보면, 답까지 향하는 길이 명확하고, 길을 정확히 따라가다보면 내가 생각한 방식대로 답을 도출할 수 있습니다.

하지만, 킬러문제들은 다릅니다. 보기에서 물어보는 것을 어떻게 알아낼 수 있을지 한번에 감이 오지 않습니다.

누군가는 어떤 어려운 문제도 바로 길을 볼 수 있겠지만, 대부분은 주어진 조건과 내가 알고있는 배경지식 사이에서 허우적대다가 시간을 날리곤 합니다.

그래서 어떤 과목을 가르치는 강사든, 답으로 향하는 "일관적인 방식"을 찾아 가르치기 위해 노력합니다.

예를 들어 비문학 독해법이나 수학 도구정리나.. 이 모든게 실제 수험장에서 낯선 상황에 놓였을 때 그 상황을 빠르게 벗어나도록 도와주는 방법이죠.

물리1을 가르치는 많은 존경하는 선생님들도 이러한 일관적인 방식을 찾기 위해 수도 없이 노력했습니다.

그 결과, 등가속도 운동에서 v-t그래프라는 방식을 찾게 되었죠.

그래프를 그리는 행위는 등가속도 운동에서 꽤 효과적입니다.

v, s, t, a의 4가지 변수를 통해 모든 문제가 만들어지는 등가속도 운동 단원에서 그래프 하나로 모든 변수를 표현할 수 있기 때문이죠.

그래프를 그리면서 물리의 복잡한 상황을 우리가 물리보다 공부를 더 많이 해온 수학에서의 사고방식으로 바꿔버린겁니다.

그 결과, 많은 물리 초보들은 등가속도 운동 단원을 그래프를 통해 헤쳐나갔죠. 길이 안보이면 일단 그래프를 그렸으니까요. 그리고, 그래프를 그리면 왠지 수학 문제처럼 느껴지고, 기울기나 넓이를 구하면서 어느새 정답에 도달해 있었으니까요.

하지만, 그래프를 통해 열심히 달려온 물리 초보들은 뉴턴역학을 만나면서 좌절을 겪습니다.

그래프로만 험난한 물리의 장벽을 넘어온 사람들이 마주한 건 엄청난 수의 변수들이었죠.

뉴턴역학 이후로 나오는 변수의 개수는 여태까지 겪어온 다른 과목들을 가뿐히 상회합니다. (물리가 어렵다가 아니라 그냥 단순히 변수가 많다는 이야기 입니다.)

v, s, a, t, F, m, I, p, E, E_p, E_k, W ...

이 "변수의 홍수" 안에서 축이 2개고 기울기, 넓이로 총 4개의 변수를 표현할 수 있는 그래프는 순식간에 명성을 잃습니다. 이젠 v-t 그래프를 그리고 나서도 해야 할 것이 산더미처럼 남은 것이죠.

여기서 그동안 그래프만 그려온 물리 초보들은 공식을 다루는 것에 익숙하지 않고, 저 엄청난 수의 변수를 이어주는 엄청난 수의 공식들을 바라보며 처음 느꼈던 무력함을 다시 느끼기 시작했죠.

하지만 이번에는 그들을 쉽게 인도해줄 도구가 남아있지 않았습니다. 문제마다 시작점은 달랐고, 그 시작점을 찾는 데만 오랜 시간이 걸렸죠.

그러면서 서서히 물리를 포기하기 시작해 결국 쉽다는 2, 3단원은 보지도 못하고 물리를 포기하는 수험생이 많습니다.

여기서 물리를 포기한 사람들의 문제점이 무엇일까요? 너무 쉬운 길을 찾으려고 했다는 것일까요?

쉬운 길을 찾는 행위는 우리 수험생의 입장에서 매우 바람직한 행위입니다. 수도없이 고민하고 탐구하며 자신만의 풀이방법을 찾는다면 앞으로 문제를 더 쉽고 빠르게 풀 수 있을테니까요.

하지만, 쉬운 길에 빠져서 다른 방법을 단련하지 못한다면, 그리고 그 다른 방식이 결국 나중에 쓰인다면, 쉬운 길은 수험생에게 달지만 몸에 좋지 않은 사탕같은 존재일 뿐이죠.

감사하게도 여기까지 읽어주신 분들은 이런 의문이 들 수 있습니다.

"그래서, v-t그래프를 쓰지 말라는 겁니까? 도대체 하고싶은 말이 뭡니까!"

제가 드리고 싶은 말은, 등가속도 운동을 공부할 때부터 공식과 그래프를 둘 다 사용해 보자는 말이죠.

다들 자신이 둘 다 사용한다고 생각하겠지만, 제가 하고싶은 말은 조금 다릅니다.

정말 문제를 2번, 3번, 혹은 그 이상 모두 다른 방식으로 풀어보자는 거죠.

그리고 그렇게 문제를 풀 떄는 등가속도 운동 단원이 매우매우 적합합니다.

지나치게 어려운 문제가 별로 없고, 어떤 방식을 써서든 대부분 좋은 길로 들어서니까요.

지금은 실전이 아니라 연습입니다! 시간 낭비라고 생각하고 한 가지 풀이만 고집한다면 실제 시험에서 시간 낭비를 하게 될 지 모릅니다!

그럼 또 이렇게 물어볼 수도 있습니다.

"그래, 그래서? 다른 방법이 뭔데?"

그래서 준비했습니다! 공식을 제대로 이용하는 방법을! 그리고 그 사이 각종 꿀팁까지 소개하겠습니다!

물리를 처음 배울 때, 우리는 이렇게 배웁니다.

"v=at라는 공식이 있습니다. v=3m/s, 걸린 시간은 1초입니다. (정지상태 등 추가조건은 생략하겠습니다.) a는 얼마일까요?" 당연히 대입하면 a=3m/s^2이라는 좋은 답이 나오죠.

하지만, 실전으로 돌아오면 다릅니다. 절대 공식 하나로 저렇게 쉽게 풀 수 없습니다.

등가속도운동의 기본적인 공식은 3가지입니다.

v=v_0+at, s=v₀t +1/2at², 2as=v²-v₀²

각자의 공식은 두 가지 방법으로 사용할 수 있습니다.

1. 그냥 대입하는 방법

위에서 본 예시와 비슷하겠네요! 공식에서 한 가지 변수 말고 나머지를 모두 알면 나머지 하나를 알 수 있습니다.

보통 이 방법은 마지막 답을 도출할 때 많이들 이용하십니다.

2. 비례관계를 이용하는 방법

많은 사람들이 놓치는 것이 바로 비례관계입니다.

공식에 대입하는 방법으로는 조건이 부족하면 그 공식은 무용지물이 되어 버립니다.

하지만 비례관계를 파악한다면, 여러가지 변수를 하나의 문자로 통일할 수 있죠!

그럼 더 보기 쉬울 뿐 아니라 추가조건을 통해 빠르게 변수의 참값을 구할 수 있습니다!

특히 처음속도가 0인 상황에서 2번째 공식과 3번째 공식이 아주 좋은 비례식으로 변하기 때문에 처음속도가 0인 상황은 매우 중요하다고 할 수 있습니다.

실전에서 어떻게 활용할 수 있을까요?

제가 문제를 풀 때는 4가지~5가지 방법을 주로 이용합니다.

1. 공식->미지수 설정과 이항으로만 문제를 푸는 방법

2. 공식->비례관계까지 이용해서 문제를 푸는 방법

3. 그래프-> 그래프를 그려서 문제를 푸는 방법

4. 상대속도->여러 물체를 비교하는 경우 상대속도를 이용해 한 번 풀어 보는 방법

5. 평균속도->평균속도와 비례관계를 이용해 문제를 푸는 방법

물론 중간에 풀기 힘든 경우가 있을 수 있고, 하다보면 1번 풀이는 좀 지겨울 수 있습니다.

이런 경우 몇가지 풀이를 생략하기도 하지만 (1,2), 3, (4,5) 이렇게 해서 괄호 속 두개중 하나를 선택해서 3가지 풀이 정도는 풀어봅시다.

한 문제만 여러번 풀기 지겨우시다면 2~3회독을 하며 다른 풀이로 풀어봅시다. 예전에 풀었던 방법과는 또 다른 신선함을 느낄 수 있습니다!

여러가지 풀이 예시를 올려 놓겠습니다. 감이 오실 지는 잘 모르겠네요.

 (그래프 풀이는 제가 프로그램 다루기가 익숙지 않아서 ㅎㅎ.. 다른 풀이 위주로 올려 놨습니다.)

오타가 있네요! 답 2번 입니다.. 예전에 만들어 둔 거라 ㅎㅎㅎㅎ...

많은 분들이 공식의 참맛을 느끼지 못하고 그래프만 이용하는 이유는 놓치는 몇 가지가 있기 때문입니다.

1. 공식에 있어서 주인공은 없다.

가끔 공식을 외우다 보면, 좌변에 있는 한가지 변수가 주인공이라고 생각할 때가 있습니다.

그런 사람들이 하는 가장 큰 실수가, 다른 변수를 구할 때 쉽게 그 공식을 떠올리지 못한다는 것이죠.

예를 들어, 가속도가 3m/s²인 물체가 3초동안 이동했을 때, 속도 변화량은? 이라는 질문은 쉽게 답하지만,

물체의 속도 변화량이 3m/s이고 이동한 시간이 1.5초일 때 물체의 가속도는? 같은 질문에서 멈칫하는 경우죠.

공식을 암기할 때 한번씩 모든 문자에 대해 정리해봅시다. 그리고 공식의 특성에 대해서도 알아둡시다.

1번 공식은 가속도의 기본적인 정의입니다. 솔직히 힘들여 외울 필요 없이 문제를 풀다보면 체화되겠지만, 가끔 이 공식을 사용하지 않고 문제를 못 푸는 경우가 있습니다. 체화하지 못했다면 확실히 기억해 둡시다!

2번 공식은 시간과 관련된 공식입니다. 시간조건이 주어진 경우 꼭 고려합시다!

3번 공식은 시간변수가 없는 공식입니다. 시간조건이 주어지지 않은 경우 꼭 고려합시다!

(그렇다고 시간조건이 주어지지 않았을 때 2번 공식을 사용하지 말라는 건 아닙니다! 시간을 구해야 할 것 같으면 1번과 3번을 적절히 이용하거나 2번조건을 이용해 시간을 구할 수 있습니다.)

2. 처음속도가 0인 상황은 매우매우매우매우 중요하다!

위에서 말했다시피 처음속도가 0인 경우 할 수 있는 행위가 매우 많이 늘어납니다!

비례식을 사용하거나 값을 구할 경우 처음속도는 방해요인이죠.

처음속도는 물리에서 0초일때 속도를 의미하기도 하지만, 그냥 우리가 임의로 속도가 0인 곳을 처음으로 잡으면 그게 처음속도가 되는 겁니다! 그러면 계산이 한결 간결해지겠죠?

예를 들어 물체를 하늘로 높이 던질 경우, 시작속도를 맨 아래로 잡을 수 있지만, 그냥 공중에서 방향이 바뀌는, 멈춘 상태를 시작점(0초)으로 잡고 문제를 이어갈 수 있습니다. 그 경우, 문제에서 제시한 시간과 내가 정한 임의의 시간을 혼동하지 않도록 반드시 주의해야 합니다!

공식으로 문제를 처음 푸는 분들이 느끼는 가장 큰 고민은 시작점을 찾는 것 입니다.

물리 역학 문제에서 시작점과 목표는 같습니다. 바로 변수를 구하거나, 변수 사이의 관계를 나타내는 것이죠.

그래프를 그릴 때 여러분은 뭘 먼저 하나요?

나와있는 변수를 통해 그리는 과정, 즉 기울기나 값을 설정하는 과정이 그래프를 그리기 시작하는 과정이죠?

마찬가지입니다! 나와있는 변수를 파악하고, 공식을 통해 각 변수 사이의 관계를 표현하다 보면, 어느새 원하는 값에 도달할 것입니다.

방법이 보이지 않아도 좌절하지 맙시다! 옛 탐험가들도 목적지는 보지 못했지만 나아가다 보니 아메리카 대륙에 도착했듯이, 여러분도 아는 변수와 아는 공식을 적절히 이용하다 보면 어느새 답이라는 목적지에 도달할테니까요!

한 가지 오해가 있을 수 있어서 첨언하자면, 저는 그래프 풀이도 긍정적으로 바라보는 편입니다!

시간 조건이 있는 문제에서 물체의 운동이 복잡하거나 여러가지 물체의 운동을 비교할 때. 가속도가 다른 물체의 운동을 비교할 때는 그래프가 매우 좋은 도구가 될 수 있으니까요!

하지만 그래프가 필요 없는 문제에서 그래프를 그린다면 그 또한 시간낭비일테고, 그래프 풀이에 익숙해져 그래프를 쓰기 힘든 뉴턴역학과 에너지문제에서 좌절하는 많은 사람들이 안타까워 그래프 풀이에 부정적인 태도로 칼럼을 작성했습니다. 

만약 자신이 믿고 따르는 물리 선생님이 그래프만으로 모든 문제를 푼다면, 선생님을 믿고 따르는 동시에 집에 와서 공식으로도 한 번 풀어보기 바랍니다! 아마 그래프 풀이로는 얻을 수 없는 새로운 시각이 자리잡게 될 것입니다.

제 첫 칼럼이 이렇게 시작하게 되었습니다. 심금을 울리는 명칼럼은 될 수 없어도, 한 번 읽어보고 한 명이라도 자신의 방법을 찾아가는 데 도움이 될 수 있다면 그 또한 나름의 보람이 될 수 있을 것 같습니다.

다음 칼럼은 평균속도와 상대속도를 응용한 문제 풀이에 대해 써 볼 생각입니다. (물론 반응이 좋다면요...ㅎㅎ)

공부 관련이나 여러가지 질문/문의는 댓글 쪽지 모두 환영합니다!

긴 글 읽어주셔서 매우 감사합니다! 좋은 하루 되세요!

https://orbi.kr/00021582277 [물리 1 (준)킬러 기출모음]