[칼럼] 방법을 바꾸면 길이 보입니다 - 수학편
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안녕하세요. 지난 국어 칼럼에 이어서 이번에는 수학 칼럼을 써보려 합니다. 저번과 마찬가지로 수험생활을 하며 깨달은 점과 방법론적인 부분을 위주로 글을 작성하니 참고해주시기 바랍니다.
수학
본격적인 이야기를 하기 전에, 우리가 왜 수학을 어려워하는지 생각해볼까요. 다른 과목들은 강의나 독학서에서 알려주는 방법대로 따라가면 어느 정도는 할 만한데, 유독 수학은 그게 잘 안 되는 과목입니다.
수능 수학 만점자에게 "혹시 본인은 수능 수학 문제를 푸는 데 필요한 개념을 정확히 알고 있다고 생각하나요?"라고 물어보면 뭐라고 답할까요? 높은 확률로 그렇다고 할 겁니다.
3등급 이하 학생들에게 똑같은 질문을 던지면? 잘 모르는 거 '같다', 개념은 잘 아는 거 '같은데' 문제 해결 능력이 부족하다 등의 답변을 하겠죠. 이들은 확신이 없습니다.
개인적인 생각이지만, 개념이 완벽한데 연습 부족 때문에 점수가 낮은 사람은 극히 드뭅니다. 개념을 알긴 아는 거 같은데 정확하게는 모르는 그 느낌을 지워내지 못하면, 아무리 열심히 해도 고득점을 하기는 어렵습니다.
그리고 가장 중요한 건 개념을 완벽하게 알기 전까지는 내가 개념을 제대로 알고 있는 것인지 확인할 수 없다는 점입니다. 실력이 완성되고 나서야 비로소 확신을 가질 수 있는, 참 어려운 부분입니다.
1. 과정을 차례대로 밟지 않으면 최상위권에 도달할 수 없다.
국어 칼럼에서 제가 '배경지식 급조'나, 수능특강 사용 설명서를 활용해 '국어 전반에 대한 내공을 단시간에 쌓는 법' 등을 설명했던 거 기억나시나요?
안타깝게도 수학은 이런 방법으로 점수를 올리기 힘듭니다. 사실 말만 놓고 보면 "당연한 이야기를 자기만 아는 것처럼 쓰고 있네."라고 생각하실지도 모르겠지만, 많은 학생이 이 부분을 간과합니다.
제가 가르쳤던 학생들의 80% 이상이 중학 개념부터 다시 배워야 할 수준이었고, 실제로 저는 중학 개념부터 다시 가르쳤습니다. 물론, 짧은 기간 안에 압축적으로 전달하는 건 강사의 몫이겠죠.
저는 수능 수학 1번을 못 푸는 수준에서 나름 칼럼을 쓸 수 있는 위치까지 왔는데, 제가 공부를 시작할 때 다짐했던 건 '처음부터 다시 공부하기'였습니다.
수학은, 중간 부분이 비어있으면 좋은 성적을 받을 수 없습니다.
쉽게 말해 중학 개념도 정확히 모르는데 미적분을 열심히 공부하는 건 의미가 없다는 뜻입니다.
2. 열심히 공부해서 적당한 성적을 받을 수 있다고 착각하면 안 된다.
1번과 이어지는 내용입니다. 특히 인문 계열의 경우, 예전에는 무작정 열심히만 하면 1등급을 받을 수 있었습니다. 나형 1등급 컷 정도에 걸리는(그 당시 21 29 30 틀리던) 학생들 풀이를 들어보면, "이렇게 풀어도 1등급이 나온다고?"라는 생각이 들 때가 많았습니다.
중간 난도의 문제가 강화된 요즘 수능에서는 열심히 하는 것만으로 이룰 수 있는 건 적다고 생각합니다. 22 수능을 보고, "이제 무작정 공부하는 방법으로는 4등급도 받기 어려운 시험이 됐구나."라는 생각이 훨씬 더 강해졌습니다.
3. 꺼내 쓸 수 없는 개념은 개념이 아니다.
이 말은 <중학 도형 특강>이라는 책에서 가져온 말인데, 이 문장을 보고 깨달은 점이 많아서 아직도 기억에 남아 있네요. 개념 공부를 아무리 많이 해도 문제에 적용할 수 없다면 아무런 의미가 없겠죠. 방법을 설명하는 게 아니니 이 정도만 언급하겠습니다.
4. 개념을 정확히 알고 있는지를 점검하는 가장 좋은 방법은 '다른 사람한테 설명하기'이다.
현역 수기에도 썼지만, 저는 처음 공부 시작할 때 정승제 F의 <완포자를 위한 중학수학특강>이라는 강의를 먼저 봤습니다. 마침 집에 큰 화이트보드도 있어서, 부모님을 앞에 두고 배웠던 내용을 제가 다시 강의 형식으로 설명했습니다. 아마 동생이 있었다면 동생에게 했을 텐데 들어주시느라 고생이 많으셨죠.
중요한 건, 학창 시절을 보낸 지 30년도 더 지난 분들인데도 불구하고 제가 뭘 모르는지 정확하게 짚으셨다는 겁니다. 저희 부모님은 수학자도 아니고, 수학 학원 원장님도 아닙니다. 함수의 개념을 설명하는 날이었는데, "너는 지금 함수에 대해서 전혀 이해하지 못하고 있다."는 말씀을 들었던 게 기억납니다. 왜? 제가 설명하다가 막히는 부분이 많았으니까요. 대충 얼버무리고, 은근슬쩍 넘어가는 느낌으로 말했다는 걸 저 또한 알 수 있었습니다.
이게 핵심입니다. 다른 사람에게 개념을 설명해보면, 설명하는 과정에서 내가 무엇을 모르고 어느 부분에 자신이 없는지를 한 번에 알게 됩니다.
가족에게 설명해도 좋고, 거울을 보고 혼자 설명해도 좋습니다. 다만, 머리 속으로만 설명하고 넘어가면 안 됩니다. 한 번 개념을 떠올려 보고 정확하게 알고 있다고 착각하지만, 말로 설명하려 하면 막히는 경우가 대부분입니다. 그걸 뛰어넘어야지만 개념을 온전히 받아들일 수 있습니다.
3번의 말을 약간 바꿔 '설명할 수 없는 개념은 개념이 아니다.'라는 말씀을 드리겠습니다.
5. 같은 문제를 여러 번 풀면 개념과 실전의 연결 고리를 깨달을 수 있다.
풀었던 문제를 다시 푸는 건 별 효과가 없다고 생각하는 분도 있습니다. 제 이야기를 잠깐 들려드리겠습니다. 저는 나형 시절에, 실력이 어느 정도 늘어서 다른 문제는 다 풀 수 있는데 30번(지금의 22번) 문제 하나를 못 풀어서 고민하던 적이 있었습니다.
그때 기본으로 돌아가야 한다는 생각을 했고, 수능완성을 반복해서 여러 번 풀었습니다. 그 과정에서 신기한 점이 하나 있었는데, 바로 '문제를 풀 때마다 다른 풀이가 생각난다.'였습니다. 그 기억이 지금까지도 남아 학생들을 가르칠 때 항상 한 문제당 세 가지 정도의 풀이를 생각해보라는 숙제를 내줍니다. 물론 2점 문제들을 세 가지 방법으로 풀어오라고는 하지 않습니다.
어차피 답도 알고 있고, 많이 풀어서 풀이 과정도 외웠으니 별 의미 없을까요? 신기하게도 풀 때마다 풀이법이 달라집니다. 아니 나 이거 이렇게 안 풀었는데 이거 답 뭐야 일단 맞긴 맞았네..
그런 경험이 많으면 많아질수록 개념과 실전이 어떻게 연결되는지 정확히 짚을 수 있게 됩니다.
"22번에는 매번 똑같은 문제만 나온다."라는 말도 같은 맥락입니다. 결국 개념적으로 따지고 보면 같은 문제니까요. 어떻게 나올지 개념과의 연결 고리를 파악했다는 뜻입니다.
이 '연결 고리'를 깨닫는 순간이 바로, 흔히 말하는 '양치기'(다양한 문제를 무작정 많이 풀어보기)에 돌입하기 좋은 시점입니다.
양치기를 통해 연결고리를 찾는 학생도 많습니다. 제 방법이 무조건 맞는 것도 아니고, 특히나 이런 이야기는 본인의 스타일에 맞게 수용하시면 됩니다. 무비판적인 수용은 전혀 도움이 되지 않습니다.
6. 고난도 개념, 실전 개념은 따로 공부해주는 것이 좋다.
기본 개념을 정확히 안다면 모든 문제를 풀 수 있습니다.
하지만 기본 개념을 정확히 안다고 해서 모든 문제를 '빨리' 풀 수 있는 것은 아닙니다.
고난도 문제에 관련된 스킬을 익히라는 뜻이 아닙니다. 저는 인강을 듣고 공부하는 것도, 문제 풀이 스킬도 별로 선호하지 않습니다. 그저 "개념을 다 알고 있는 거 같은데 시험을 치면 왜 결과는 좋지 않을까?"에 대한 제 생각입니다.
기본 개념과 고난도 개념은 하나로 이루어져 있지만, 또 하나로 이루어져 있지 않기도 합니다. 다소 철학적으로 접근한 것처럼 느낄지 모르겠지만, 22번 문제를 많이 접해보신 분이라면 이해하실 수 있을 겁니다.
7. 배우지 않은 부분은 시험에 출제되지 않는다.
너무 단순한 이야기처럼 들릴까봐 예시를 가져왔습니다.
이 문제는 사실상 부등식이 전부인 문제였습니다. 중상위권 학생들에게 설명해준 다음, 혼자서는 왜 못 푼 것 같냐고 물어보면 "부등식만 활용해서 풀 수 있을 줄은 몰랐다."는 반응이 대부분입니다.
(가)와 (나) 조건에서 얻을 수 있는 건 a > b > 3 뿐입니다.
부등식밖에 안 줬는데 그걸로 특정 a값과 b값을 찾아낼 수 있나요? 그런 걸 배운 적이 있었나요? 학생들은 저 조건을 활용할 생각은 하지만, 뭔가가 더 있을 거라고 판단하고 고민하다가 결국에는 포기하게 되죠. 주어진 게 없는데 어떻게 추가적인 부분을 발견할 수 있을까요.
다음 문제도 마찬가지입니다. 지수함수와 이차함수를 활용해야 하는데, 이걸 수식으로 풀어보려는 학생이 많았죠. 지수방정식과 이차방정식을 연립하는 건 배운 적이 없습니다.
첫 번째는 어떻게 생각했던 친구들도, ㄷ 조건에서 y1 y2을 2의 x제곱과 관련된 식으로 바꿀 생각을 못한 경우가 많습니다.
그럼 풀이 과정이 이렇게 됩니다.
'배우지 않은 부분은 시험에 출제되지 않는다.'가 무슨 의미인지 이해되시나요?
없는 조건으로 답을 만들어내는 걸 배운 적이 없음을 간과하고, 심지어는 뻔한 조건을 두고도 안 배운 방법으로 문제는 푸는 학생이 많습니다.
이걸 깨닫지 못하기 때문에 학생들이 "설명은 이해했는데 혼자서는 못 떠올릴 거 같아요. 여기서 이런 풀이를 생각해내는 게 가능할까요?"라는 질문을 한다고 봅니다. 최대한 명시적으로 설명하려 했는데 잘 전달이 됐을지 모르겠습니다.
배우지 않은 부분은 시험에 출제되지 않는다. 이번 글 중에서 이것만은 꼭 기억해주시길 바랍니다.
8. 고난도 문제일수록 시중에 있는 해설지는 참고용으로만 활용하는 게 좋을 때도 있다.
이건 제가 썼던 수학 22번 칼럼을 보면 이해되실 겁니다. 제가 하위권부터 올라오면서 30번 문제의 해설지를 볼 때마다 이런 생각을 했습니다. "아니 이렇게 풀면 한 문제 풀다 시험이 끝나겠는데?"
정말 그런 느낌입니다. 삼차함수 비율 관계 등으로 대표되는 '고난도 기본 개념'을 활용하는 해설도 요즘에는 흔하기 때문에 참고용으로만 활용하라고 단정 짓지는 않고, 그럴 때도 있다고만 썼습니다. 여전히 100분 동안 풀어야 할 것만 같은 스케일을 자랑하는 해설이 존재하니까요.
어려운 문제일수록 풀이법도 다양하기 때문에, 해설지에 나온 풀이를 고수할 이유는 없습니다. 잘 모르겠다는 생각이 들면 해설지를 보며 고생하지 말고 강의를 들으시길 바랍니다. 혼자 독창적인 풀이를 떠올릴 수 있으면 가장 좋겠죠.
9. 문제를 풀다가 막힌다면 5분 정도만 고민하고 해설을 보는 게 좋다.
이와 관련된 내용은 '공부는쉬워야한다' 님께서 칼럼으로 자세하게 다루어주셨습니다. 궁금하신 분은 참고하시면 도움이 될 거 같습니다.
저도 같은 생각을 했기에 9번 항목에 넣었고, 좀 더 첨언하자면
우리는 수학을 공부하는 게 아니고 '수능' 수학을 공부하고 있음을 기억해야 합니다.
10. 연계 교재는 풀어 볼 만한 N제이다.
수학은 정말 실모 말고는 사설 쪽 컨턴츠를 본 적이 없습니다. 연계 교재만으로 공부했는데, 수능특강과 수능완성은 N제의 역할을 하기에 충분하다고 말씀드리고 싶습니다.
다만 연계에 있어서는 그닥 긍정적으로 바라보지는 않는데, 어차피 수학 1등급 받는 (만점이 아닌) 수험생이 문제를 내도 26문제에서 많게는 28문제까지 평가원과 유사하게 낼 수 있을 겁니다.
유형은 누구나 80%이상은 파악하고 있기 때문에 유형 적중과 같은 말들이 별 의미가 없다는 생각이 듭니다. 의미가 있으려면 신유형이 뭐가 나올지를 알아야 할 테고, 그래서 고난도 / 신유형 문제집이 인기가 있는 거겠죠.
마치며
방법론적인 이야기에는 정답이 없다고 말씀드렸지만, 수학은 더더욱 그런 과목입니다. 애매하게 생각하고 있던 내용들이 명시적으로 머리 속에 자리 잡았기를 바라지만, 결코 쉬운 일은 아닐 겁니다.
읽어주셔서 감사합니다.
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정답은 아래에 있어요!...
오늘도 독서 배경 지식 칼럼 올라갈 텐데, 학교 일정이 바빠서 저장해뒀던 거 먼저 올렸습니다 조금 늦을 수는 있어도 업로드는 확실히 합니다!
계속 고민되는데 중학 수학 고1수학이 좀 부족한것 같고 개념이 비어있는 부분이 있는제공부를 해야겠죠? 고3 현역 정시파이터인데 수1. 수2 하는 중인데 너무 늦은것 같기도 하고 주변애들하고 속도 차이때문에 계속 고민되서요 ㅠㅠ
본인의 템포로 공부하는 건 모든 과목 공통입니다.수능에서 쓰이는 중학 개념은 어느 정도 정해져 있습니다. 강의를 찾아보시면 그리 많지 않은 분량으로, 수능에 필요한 중학개념을 설명 해놓은 게 있을 겁니다.
아예 처음부터 하면 정말 바람직하지만, 시간이 많지는 않죠. 아직 늦은 건 아닙니다.
그리고 중학 수학 / 수능 수학을 병행해도 그닥 문제는 없는 거 같아요 나중 가서 깨달음을 얻으면 예전에 풀었던 문제를 왜 그렇게 풀 수 있는지 알게 됩니다. 이건 개인차가 있을 수 있어서 확실하게 말씀은 못 드리겠네요
고1 수학도 정의역 치역같은거 살짝 비어있는 부분 공부 해야겠죠??
당연합니다. 50일 수학이 적합할 거 같은데, 다른 사설 강의 들으시는 거 있으면 강사 따라가시면 됩니다.
요즘은 기초를 되게 탄탄하게 잡아준다고 들었어요
선생님 근데 7번이 제가 제대로 이해를 했는지 모르겠는데요…
저는 7번에서 ‘배우지 않은 내용은 시험에 나오지 않는다’라는 파트에서, ‘이차함수와 지수방정식을 연립한다’라는건 수1에서 배운적이 없으니, 그런 방식으로 괜히 땅 파지 말고 그쪽 루트는 폐기하고, 다른 루트를 통해서 문제를 풀어내는 방향으로 가야 한다….이렇게 이해를 했는데, 그렇다면 다른 루트는 어떻게 생각해내지? 라는 의문이 들더라구요..이거는 개념을 복습하면 생각해낼 수 있는 부분일까요?
우선 이해하신 내용은 맞습니다.그런데 지수방정식과 이차방정식을 연립하는 것은 배운 적이 없으니
이차함수와 지수함수로 그래프를 그리자! 라는 접근이 잘 안 떠오를지도 모르겠다는 말씀이신 거 같네요.
그게 제가 위에서 말한 '혼자서는 못 떠올릴 거 같아요.'의 유형이라고 생각합니다.
수식으로 못 풀면 그림을 그린다.
즉 대수적인 접근이 불가능하면 기하적으로 접근한다
이건 수학의 큰 틀이라고 해야 하나..
저도 언제부터 이렇게 생각했는지는 모르겠지만 어떤 느낌인지는 이해 되시려나요
잘 읽어보겠습니다고난도 개념은 사설 인강으로 공부해도 좋을까요?
네 자칭 현우진 랜선 수제자라는 수강생이 교재 내용 알려줬는데 아주 좋아보이더라구요 저는 혼자 공부했지만 그닥 효율이 좋지 않았어서.. 인강 듣는 게 효율적이죠!저 갑자기 궁금해졌는데 전에 가형+사탐도 가능했나요??
가능했던 걸로 알고 있습니다
선생님 미적분 기출 몇개년치 봐야하나요
옛기출은 적응이 좀 안되네요
몇개년치 기출 보는 건 사람마다 다르겠죠 저 같은 경우에도 현역 땐 3개년보다가 나중가서는 10개년 선별 이런 식으로 바꿨으니..
근데 미적분 보실 거면 적응이 좀 안 돼도 가형 시절 어려운 문제도 거르지 말고 보시는 게 좋습니다 모래주머니 효과로.
그땐 어려운 문제가 넘쳐났죠
수분감 푸는중인데 옛기출 엄청 많던데 이거 강의 싹 다 들으면서 얻어가고 최근경향 반영된 다른 기출 하나 사서 수분감 다음 푸는거 어떻게 생각하시나요
9번 내용에 언급된 '공부는쉬워야한다'님 칼럼 제목이 뭔가요? 아무리 찾아봐도 안보여서요...
https://orbi.kr/00055904314
이 칼럼입니다. 개인적으로 굉장히 좋은 글이라고 생각합니다
감사합니다첫 애가 수능보는 초보맘입니다
수능특강 수능완성은 어느 수준의 책인가요?
EBS에서 나온 수능 기출인지요?
그리고 수능공부 전 필수로 봐야되는건지요?
9번에 대해서 질문드립니다!
킬러(22번 급)문제 또한 더 이상 모르겠다하는 지점에서 5분 이상 지나면 그냥 해설 보고 익혀야 하는 건가요?
누구는 30분 누구는 일주일 고민하라고 해서....
저도 1번부터 못 풀 정도의 노베로 시작해서 미적 68까지 왔고 그 과정 중에 해설 빨리 빨리 보면서 풀이를 익히는 식으로 왔는데, 준킬러를 못 뚫겠어요.
전 보통 10분~20분 고만하는데, 이제 공부방법이 잘못 되서 고민하는 시간을 더더더 늘려야 하나 싶었던 참이였거든요.
68점 정도면 사실 킬러 문제는 9번을 참고할 게 아니죠. 우선 준킬러를 고민하면서 익힌 후, 6번을 참고해서 킬러에 쓰이는 실전 개념들을 알아두는 게 맞다고 생각합니다.
아 그럼 지금처럼 준킬러 고민하면서 푸는 게 맞는 거죠?
감사해요 ㅎㅎ 칼럼 좋은 게 진짜 많네요,,,
자기객관화도 안 된 상태에샤 무지성 N제 러쉬라는 최악의 길에 들어설 뻔한 절 구해준 아주 최고의 칼럼이네요.. 좋은 칼럼 진짜 감사합니다 그래서 7번 내용 첫 번째 문제 답 ㄱㄴ 맞나요