근의 분리 상위호환
게시글 주소: https://test.orbi.kr/00068358303
과외준비를 하다가 이번 6모 15번과 작년 9모 13에가 어떤 관점이 동일하게 쓰인다는 것을 알았는데요,
특히 9모 13번을 이렇게 푸는 것은 처음 봤다고 하네요.
앞으로 근의분리는 쓰지 마세요. 오늘 알려드리는 이 방식이 근의 분리를 거의 완전히 대체할 수 있습니다
(글 맨 마지막에 조건 달아뒀습니다.)
사실 저는 그렇게 특이한 접근인지는 모르겠습니다. 수학(상)을 열심히 공부했다면 이게 가장 자연스러운 접근이죠. 아무튼 과외생을 보며 이걸 여러분께도 소개해드리면 나름 의미가 있겠다고 판단되어 글로 쓰게 되었습니다.
일단 이번 6모(2025학년도)입니다. 문제를 다 풀진 않을거고, 맨 마지막 부분만 볼게요. (나) 조건을 통해 k=2인 것까지 구한 상황입니다.
k=2니까 g(x)가 미분가능하려면 f(2)=2, f'(2)=2여야 합니다. 최고차항 계수가 1인것도 아니까, 문자 하나만 가지고 식을 세울 수 있습니다.
이렇게 말이죠.
(가) 조건에 의하면, 얘가 x가 2보다 큰 곳에서 항상 증가해야 합니다. 그럼 당연히 도함수 관찰을 해야겠죠.
아, 센스 있게 2만큼 왼쪽으로 평행이동해서 봐도 되는데(저도 풀 때 그렇게 했구요) 헷갈리는 독자도 있을 수 있기에 여기선 그대로 갈게요. 괜히 과정 추가하지 않겠습니다.
아무튼 미분해보겠습니다.
냅다 판별식 쓰면 안 된다는 것은 알고 계실겁니다.
함수가 x축과 두 번 만나지만 x가 2보다 클 때는 x축보다 위에 있을수도 있으니까요.
난 그냥 그렇게 해서 맞았는데? 하시는 분들은 운이 좋으신 겁니다. 이 문제에선 결국 그게 답이긴 하더라구요 ㅋㅋ
여기서 a 범위를 나눠서 푸는 분들도 있습니다.
그건 올바른 풀이지만, 완전히 상위호환인 다른 풀이가 있어요. 그걸 지금 알려드리겠습니다.
일단 부등식에서 모르는 문자가 있는 부분을 넘겨버립니다. 그 뒤에 기하적인 의미를 부여할겁니다.
왼쪽은 완벽하게 그릴 수 있는 이차함수고, 오른쪽은 (2,0)을 지나면서 a에 따라 기울기가 달라지는 직선이죠.
이때 “직선이 항상 이차함수보다 아래에 있어야 한다” 라고 해석해주시면 됩니다.
그럼 기울기가 점점 가파라지다가 딱 접하는 순간까지 가능하겠죠? 그때보다 기울기가 더 커지면 직선이 더 위에 있는 순간이 생깁니다.
반면 기울기가 음수라면 음의 무한대까지 계속 가능할 겁니다.
x가 2보다 큰 곳에서는 여전히 아래에 있기 때문이죠.
그럼 접하는 순간 계산해볼게요.
a는 플마 루트 6인데, 둘 중에서 우리가 원하는 순간은 -루트 6일겁니다. 그래야 빨간 직선의 기울기가 양수가 되기 때문이죠.
a의 범위는 -루트6보다 크다가 되겠네요.
2024년 9평 13번에도 이걸 적용해볼게요.
저도 이렇게 빨리 풀릴 줄 몰랐는데, 아주 빨리 풀 수 있습니다.
얘도 당연히 도함수를 관찰해야겠죠.
연두색 영역에 도함수가 그려져야 합니다. 파란색 함수처럼요.
반드시 (-1,0)을 지나야 하겠네요.
왼쪽 함수에 대입해봅니다.
b=2a-1이 나오겠네요.
도함수의 오른쪽부터 관찰해보겠습니다. 아까 했던 거 똑같이 할게요.
a범위 구했습니다.
왼쪽에서 새로 추가되는 조건은 없습니다. 이미 이 조건만으로도 왼쪽 구간 함수는
y절편이 양수고
(-1,0)을 지나므로
아까 말한 연두 구간에 그려집니다.
우리가 구해야 하는건 a+b의 최대최소 즉, 3a-1 의 최대최소값입니다. a 범위를 아니까 다 구한 셈이네요.
네 여기까지입니다.
부등식으로 인식한 뒤에 약간의 변형을 가해주어서 기하적으로 관찰하는 방법을 알려드렸습니다.
문자범위 나눠서 하는 것보다 훨씬 빠르고 실수 확률이 적은 풀이라 생각합니다.
한 마디 덧붙이자면, a로 묶인 부분이 기하적으로 깔끔하게 해석이 가능할 때 이 방식을 쓸 수 있습니다.
그럼 언제 깔끔한 해석이 불가할까요?
a의 계수가 이차도 있고.. 일차도 있고 이런 식으로 여러 개가 있다면 기하적 의미를 부여하기 힘들 겁니다.
즉 문자 계수가 하나로 한정된 상황에서는
이 방식이 근의 분리를 완전히 대체한다고 말할 수 있겠네요.
다음에 또 좋은 글로 찾아뵙겠습니다. 감사합니다.
0 XDK (+1,010)
-
1,000
-
10
-
확 92 84 미 87 78 기 88 79
-
omr 잘못썼을까봐 진짜 개불안함
-
오늘 보닌 4
샤워안함
-
이거 ㅈㄴ 말려야하는 거 맞죠..? 조합도 레전드라..
-
실모 풀 거 다 떨어져서 써킷 X 푸는데 솔직히 이번 수능 문제 이걸로 교체해도 될...
-
도대체 왜 과탐1, 사탐1 이렇게 섞는지 알려주세요 사탐2이랑 뭐가 달라요? 내년엔...
-
저 유명인사임? 5
??
-
군수 질문 4
현역 고3입니다 , 올해 수능 망했는데 집안에서 재수 반수는 반대해서 군수 할려고...
-
진지하게 정시 국숭세단 각이어서 낼부터 준비해서 중논 갈까요….
-
☆대성 19패스 phil0413 추천해주시면 감사하겠습니다. 서로 1만원권 받게요^-^ 0
추천 아이디 입력하면 메가커피 1만원권 같이 받을 수 있대요 !! 대성패스와 함께...
-
ㄹㅇ 전과목 합해서 22만명이라는 거임?? 한 과목씩 따로 보면 4만명 정도라는 거 진짜임?
-
인서울 전화기가 목표긴한데
-
작수 수시였다가 6광탈당하고 정시로 인서울 끝자락가서 올해 반수했습니다 (작수...
-
영어 특히 해석연습이나 구문교재론 천일문 외에 또 추천해주실 교재 있나요? 혹시...
-
선지에 답이 없는듯
-
본인 고2 수학 3모 9모 10모 다 3점 한 두개씩 틀려서(미분 잘못하거나 계산...
-
키보드 ㅊㅊ좀 12
커세어 로지텍 정도밖에 안알아봤는데 ㅊㅊ좀
-
기적을 바랫지만 그러한 기적은 역시나 저에게 들어오지 않았고 이제 20대지만 20대...
-
아니면 아주대 낮은과는 가능할까요?
-
ㅈㄱㄴ
-
처음엔 학점때문에엿는데 이젠 빠져나올수없음뇨..
-
고2이고 물리 (특히 역학)에서 시간이 많이 부족하고 20분컷을 한다는 사람은...
-
중대 어디까지 되나요 반영 비율이 달라져서 컷이 많이 바뀌나요?? ㅠㅠㅠ
-
외대 경제 썼습니다 진짜 고민 ㅈㄴ되는데 조언좀 해주실분
-
이게 오르비에 많은거임? 아니먄 한국에 많은거임? 아니면 원래 인간은 멍청한 인간이 많은거임?
-
못해도 동이나 홍은 가고싶은데 가능할까요 학과는 상관없어요
-
현우진 선생님의 뉴런이 너무 좋다는건 알겠는데, 아이가 수1,수2를 일반...
-
전 남자임뇨
-
진짜 좀 하 ㅅㅂ!! 그냥 다음학기까진 하고 가야되나 아니야 그런다고 연인이 생길까..?
-
입시 끝나지도 않았는데 엄마가 재수에나 집중하라고 하는 거 어케 생각함? 하 그냥...
-
기숙사 춥네 6
3시간 넘게 난방 틀어놨는데 온도가 잘 안오르는거야
-
ㄹㅈㄷㄱㅁㅊㄷ
-
이젠 늘거서 못함뇨
-
저는
-
총학은 모든걸 알고있었으나 구성원들에게 이 사실을 정확히 알리지 않고, 이 사건을...
-
연애썰 6
-
어그로 죄송합니다 혹시 n수분들 작년에 텔그 가채점에서 보통 몇퍼 떨어졌나요?...
-
냄새 빼고 들어와 ㅇ미친것아.... 스카 혼자 쓰나
-
언 정석민 미 김범준 영 안 들음 생 한종철 지 이훈식 1~10까지 커뮤픽 정도를...
-
뻥임뇨
-
모교 연애썰 9
여고에 그런 게 있겠냐? 난 있을 줄 알았는데 역시나 없더라
-
구라고 OMR 이거 인식 되냐냐 이거보다는 화이트 제대로 칠해진거 같은데
-
인서울 도전 해보려는 노베들에게, 실패한 삼수생이. 0
생각좀 정리해보자 하며 쓴 일기장이 혹시 도움이 될까봐, 그리고 나도 도움을...
-
아 연애하고싶다 3
그냥 학교 동방에서 보이는 사람들한테 죄다 고백해볼까 수시원서 넣듯이 6명한테만
-
수학 65점 싷모 보면 88-92였는데 그냥 죽을까 작년보다 못봤어요
-
일세카도 거의 오토오토만 돌린거임
-
덕코 주시오 2
주세요
-
거짓말을 안해도되는게 너무 편함뇨..
-
서울대 수리과학부 목표이고 언매 91 미적 100 영어 80 물2 44 화2...
개추 눌렀다....
캬
일단 읽어보고 걔추
앞으로도 좋은 글 써볼게요 ㅎㅎ
ㄷㄷㄷ
갑종님이랑 생각이 거의 일치하는...
왜냐면 둘이 친구거등
저도 작년 9평 13번을 이렇게 푸는게 맞다고 생각했어서 근의 분리니 뭐니 말 많을때 잘 이해가 안되긴 했었어요
김현우 선생님이랑 완전히 똑같이 푸셨네요.. 칼럼 잘보고 갑니다!
15번 이거풀때 산술기하로 풀었는데 최솟값이라 풀린거겠죠
6평 말하시는거죠?
산술기하도 괜찮네요. 왜냐면 여러가지 조건이 딱 맞아 떨어져서 여기에 산술기하를 쓸 수 있습니다.
일단 x가 2보다 큰 부분을 봐야 하는데, 그게 x-2>0이어야 하는 산술기하 조건이랑 맞아떨어졌구요,
부등식에서 오른쪽 부분이 상수이기 때문에 최솟값만 보면 됩니다.
물론 좀 더 근본적으로는, 산술기하는 완전제곱식에서 나온 공식이기에 똑같다고 볼 수도 있지만
아무튼 아주 맘에드는 관점이네요!!
넹 6모 15번 x-2>0보다 큰상태여서 이거로 산술기하썼는데
해설강의같은거 보니까 다들 다르게풀어가지고 결국 똑같은이야기였네요
대범준 그래프 분리
첫 문제에서 a=±루트6 구하셨을 때 D/4 공식을 쓰셔는데, 미지수를 (x-2)로 해서 b'²-ac 로 바로 구하신건가요?
아! 근데 그렇게 해도 되는건가요? 제가 고1수학을 날림으로 배워서..
넵, 이해를 도울 수 있는 두 가지 관점을 소개해드리겠습니다
1. 평행이동.
x축과 만나지 않는 이차함수를 좌우로 평행이동해도 여전히 x축과 만나지 않는다. 따라서 해당 이차함수를 2만큼 왼쪽으로 이동시킨다면 3x제곱 +2ax+2이고, 여기에 판별식을 쓰면 된다.
2. 치환
x-2를 t라는 새로운 문자로 잡는다.
사실 1과 본질적으로 같다.
감사합니다!! 저는 x가 변수인 상황에서 판별식을 쓰는데, 2만큼 평행이동을 해도 똑같이 성립이 되는지 궁금했었는데 이해가 되네요! 정말 감사합니다 ㅎㅎ 덕분에 수준높은 풀이법 하나 배워갑니다 . 감사합니다!!
저도 굳이 근의 분리까지 안끌고가고 싶어서
저는 그냥 잘 모르겠으면 화끈하게 근의공식 때리고, 두 근이 모두 k보다 작아야한다면
D >=0인 경우, 그냥 더 큰 근이 k보다 작다! 라고 하게끔 가르쳤는데
기하학적인 풀이도 너무 좋은 듯 합니다 ㅎ
잘 보고 갑니다!
관찰중인 문자의 차수가 여러개가 아닌 이상 (예를 들면 식에 a도 있고 a제곱도 있는 경우), 위 기하적인 풀이가 근의 분리를 완전히 대체합니다
.
의견 공유 감사해요 ㅎㅎ
고정된 요소가 필요하다는 말씀 맞으실까요? 좋은 댓글 감사합니다 ㅎㅎ
오 이거 좋네요. 시간 단축 꿀일 듯.
+ 이번 6평 14번 부등식도, 부등식 여러개로 케이스 분류해서 끼워 맞추지 않고, 일차함수랑 이차함수 만나는 걸로 구할 수 있음!
정말감사합니다
오늘도 배워갑니다 감사합니다
많은 상황에서 상위 호환은 맞지만 계수의 꼴에 따라선 대체가 안 되는 경우도 있습니다!
(고정점 지나는 직선으로 해석이 안 되는 경우도 있음)
저도 위에 댓글에 달아놨는데, 그 경우에는 기하적 의미를 깔끔하게 부여할 수 없습니다
본문에도 추가해야겠네요
질질 쌌다.
미분을 활용하여 직선의 회전 이동을 관찰한다, 감사히 잘 읽었습니다!
좋은 글 감사합니다
선생님 진짜 미틴넘이시네요 미친초고수다