미분가능과 도함수연속성
게시글 주소: https://test.orbi.kr/00068839810
일단 결론은 미분가능≠도함수연속 입니다
이 내용을 현행교육과정내에서 간단히 풀어내보겠습니다
미분가능하다의 정의는
1. 연속
2. 모든 실수 a에 대하여 
가 존재(좌미분계수=우미분계수를 내포하는 내용)
사실 수능문제들에서 미분가능성을 따질때 정석적으로는 2번의 정의로 다 풀수있으나 실전성을 위해 첨점과 같은 내용으로 한눈에 파악하기도하죠
도함수가 연속이다의 정의는 그냥 일반적인 연속의정의인
를 확인해주면 됩니다
결국 도함수가 연속이면 미분가능함의 2번조건을 자동적으로 만족해줍니다
그럼 1번조건인 연속하다라는 어떻게할까요?
도함수의 정의자체가 원함수의 각 지점의 미분계수를 뜻하는것이기에 도함수가 연속이면 당연히 원함수도 연속입니다
(원함수가 불연속이면 도함수의 정의상 원함수가 불연속인 지점에서 정의되지않기때문에 도함수는 불연속이됩니다)
그러므로 도함수가 연속이면 미분가능합니다
하지만 첫 줄에서 말했듯
미분이 가능하다고 도함수가 연속인것은 아닙니다
미분가능해도 도함수가 불연속일 수 있다는거죠
왜 우리의 직관과는 달라보이는 이런일이 발생한걸까요?
그 이유는
일수도 있기 때문입니다
분명 미분계수의정의로든 로피탈로든 둘이 같다 생각해왔었는데 실은 다른경우도 있다는거죠
f(x)가 미분가능하다고 전제한다면 저 두식의 좌항은 서로 같겠지만 좌항과 우항이 다른경우가 있을수도 있어서 미분가능이 도함수의연속을 보장해주지 않습니다
그 예시는 밑에 보여드리겠습니다
다만 이런 경우는 적어도 구간별로 다르게 정의됐을때와 같은경우에나 발생하지 일반적인 미분가능한함수에서는 저 위에 두식에서 좌항과 우항이 같음이 성립하니 문제푸실때 이런경우를 너무 과도하게 생각하실필요는 없습니다
미분이 가능하지만 도함수는 불연속인 대표적인 예시이자 기출입니다
미분계수의 정의를 이용하면
이므로 미분이 가능함을 알 수 있습니다
하지만 이때 미분법을 이용해 도함수를 구해주면
이를 실제로 그려보면 도함수가 x=0 근방에서 미친듯이 진동하는것을 확인할수있습니다
결국
임을 확인할수있기에 미분이 가능해도 도함수는 연속이아닙니다
매번 주기적으로 불타는 주제이기에 한번 정리해보았습니다
사실 수능문제에서 그렇게 크리티컬하게 다뤄지는 내용도 아니고 교육과정내에서 완벽하게 증명이 된다고는 볼 수는 없긴합니다
도움이돼셨다면 좋아요를....!!
0 XDK (+5,100)
-
5,000
-
100
-
고대 수교과나 스나로 설대 펑크난곳 10%정도는 비빌 수 있을까요?? :( 재미삼아...
-
Holy 0
-
22랑 난도 비슷한데 요번 과탐보면 애들 표본 장난 아닌거 같음 의대 반수생은...
-
재수/반수 고민 0
6모 백분위 98 100 2 89 90 9모 백분위 98 95 1 78(블) 92...
-
이번 수능 1등급인데 독서만 한번 들어볼까 생각중임
-
지금 딱 컷에 걸쳐서..
-
냥대 다니다가 7월 말에 반수 시작했는데 연대 간당간당한 성적 나옴 4개월동안 진짜...
-
얼버기록 7일차 3
11/17 일 다들 옯모닝
-
29번 진짜 k에 걍 넣어보다가 규칙 찾는게 정석임?? 5
an 다 구해놓고.. 사실 첨에 리만합 구분구적 그쪽 문젠줄 알고 얼탄듯 1분전에...
-
건동홍은 힘들겠죠..ㅠㅠ
-
근황 아시는 분 계실까요? 비웃어도 좋다 무조건 간다 이런식의 내용이었던 것...
-
고대논술때 원고지형식인가요? 유의사항 동영상보니 그냥 밑줄종이던데.. 뭘까요?
-
맨날 질문글만 올리던 저렙노프사단? 이라 질문 받아보는게 버킷리스트였어요 수학 말고...
-
미적 80,81 0
미적 3틀 80,미적 4틀 81 당연히 2등급은 나오겠지라고 생각하는데 오르비...
-
현재 메가기준 758입니다.
-
친구한테 열등감 3
친구 인설약 현역으로 갔는데 나 삼수해서 지방한이나 지방약 가려니까 열등감...
-
솔직히 뇌 깔끔한데 수학100할만하지않을까? 이건아닌가
-
늦게잔거같은데
-
모든 지표는 안가도 된다고 하는데 등급컷이 오를까봐 고민입니다...
-
물수능도 70점대고 불수능도 70점대면 차라리 불이 더 낫지 않을까 물일때도 키야...
-
아 제발 0
가채점대로 성적표 안나올까봐 개쫄린다 ㅋㅋㅋ
-
실채때 국수는 좀 변하는 느낌이긴하던데
-
이거 드립 수만휘 가서 쳐보고 싶다
-
지구 1컷이 43으로 올라서 최저 2개 떨구고 엉엉 우는 꿈ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
4 6 2 4 4 가능한가요..
-
물화생지 투 대충 1컷 얼마 나올거같아?
-
입실시간 좀 지나도 ㄱㅊ?
-
당직서기싫다 5
꿀같은 주말 24시간을 뺏어가는건 ㄹㅇ말이안됨...
-
국어 성적변화 0
(수능) 현역 5 -> 재수 4 -> 삼수 3 이면 성적상승이긴한데 잘한거임? 1년...
-
나만 불이였네
-
얼버기 0
왕
-
3합6인데 영어2받으면 1로올려주는거있음 작년보단 많겠조?
-
안뇽 0
만나서 반가워
-
어떻게 공부하는게 맞을까요 장점이자 단점인 것은 하방도 1컷이고 상방도 1컷이라는 점입니다.
-
나 존나 늦게자는데 대체왜
-
기하 없는 유일한 시험...
-
논술보러 가는데 부모님이랑 갈만한곳 추천 부탁드립니다.
-
국어 질받 해보고 싶은데 나도 내가 어쩌다 국어 1 된건지 몰라서 해줄 말이...
-
수능끝나꼬 계속 늦잠이안자짐... 늦게자도 7,8시쯤이면 눈떠지고 돌아누워도 점점 잠이 깨요
-
수학 실수해서 잠수 나락간거 말고도 최저도 못맞췄으면 진짜 자살마려웠을거같은데...
-
한번만 봐주세요 ㅜㅜ
-
수학 1컷을 88을 만들어? 아무리봐도 체감 1컷 84-85였는데 공부는 너희들이...
-
clothing20snu 대성 커피 먹구가~~ ⸝⸝ɞ̴̶̷ ·̮ ɞ̴̶̷⸝⸝ 0
있잖아, 지금 2026 19패스 구매하고, 내 ID를 입력하면 너도, 나도 각각...
-
아니 진짜 1컷 47이라고…?
-
경희대 인논 0
1번이 진짜졷나 어려웠는데 다들 어떠셨나요?
-
24수능 43254 25 9모 22233 25수능 33344 인데 수학계산실수틀,...
-
대충 어디정도까지 될까요??
-
평가원 진짜 이러기야? 우리가 몇년짼데 이정도도 못깎아줘?
-
성논 입실 10
혜화역 40분 도착인데 퇴계인문관까지 ㄱㄴ?
-
성대논술 가는중 8
나 한번만 더 붙여줘
서로다르다는 기호를 어케쓰는지를 몰라서 ㅋㅋ...
양해부탁드립니당
느낀점.도함수가 연속이면 미분가능 o
미분가능이면 도함수연속 x(반례) 이군요
반례가 어케되죠
도함수의 함숫값만 존재하면 되는거아님? 도함수의 극한값과는 관계없이 어차피 f'(a)라는 값만 보는거니까
감사합니다....안 그래도 제가 헛소릴 해서....깔끔하게 정리해주셨네요
도함수가 연속이면 미분가능이지만 그 역은 성립이 안 된다는 걸로 한 줄 정리가 되네요
!= 입니다
헛 감사합니다
호훈이 맨날 강조하는 거네
저도 이거 배웠는데 반례가 현행 교육과정에서는 힘들고 가형 30번에나 나올거같은 기괴한 함수여서 별로 상관 없는거같던데
저함수근데 교과서에 있음 ㅋㅋㅋ
수2범위 내에선 그냥 동치 맞죠?
ㅇ예
김기현 들으면 저거까지 다 증명 및 소개까지 다 해줌 아 ㅋㅋ
확통 선택자인데
역은 성립하지 않는다고 기억해두면 될까요?
유용한 글 감사합니다
도함수가 연속이면 미분가능하다
역은 성립하지않는다
도함수 말고 그냥 함수는
연속이라고 미분 가능한 함수가 아니고
미분이 가능하면 연속이라고 알고 있는데 헷갈리네요
확실하게 알아야겠어요
수분감 미적 스텝2에
"선생님 그럼 sin1/x는요? 말도 안되는 소리하지말고 " 한 5번쯤 나오는데 뭔소린지 몰랐는데
드디어 ㅋㅋ..
저거 강기원이 자주 얘기하는 함순데
팔 부르르 떨기 ㅋㅋㅋ
기구하다
N제에 비슷한 개념이 헷걸리는 문제가 있는데 그럼 f프라임의 극한값은 존재 하는데 함숫값과는 다른경우에도 미분 가능할 수 있겠죠 주어진 구간대로 함수를 미분해서 구하면 좌극한 우극한은 같은데 함숫값이 다른경우가 있더라고요
수2 n제인데 다시 보긴 해야되는데 기억상 이런 문제가 있더라고요
간단하게 변곡점의 미분계수가0인 삼차함수의 역함수를 생각해보면 됨 이 역함수의 변곡점의 미분계수는 정의 되지 않지만, 미분 가능임
이건 틀린말이지요 y=x^3의 삼차함수의 역함수는
0에서 미분가능하지않지만(평균변화율의 극한의 발산) 접선이 존재한다가 옳습니다
y평점은 미분도 불가능이에용
또 재밌는사실은
1. x->a로갈때 limf '이존재한다고 원함수가 연속이면 위 극한은 f '(a)라는 점
2.반대로 lim f '(좌우극한)이 존재하고 f '(a)도
존재한다면 이 둘은 다를 수 없다는 점
-->이게 누구나 떠올릴 수는 있지만 이러한 특성을 가진 도함수는 없다는 다르부의 논증이 있지요
도함수의 연속성에 대해서 이런 정리가 있더라구요!
다르부의 부르르함수
수분감에선 이거 고등과정에선 고려 안해도 된다고 들었는데 맞을까요..?
어디 기출이죠..?? 평교사엔 아직 없고 임용 기출로 알고있는데
의대논술
김범준이 도함수 극한 ㅈㄴ까던데 ㅋㅋ
간단하게 생각하면 도함수: 단일 극한, 도함수극한: 이중극한이니까 당연히 다르다고 볼 수 있죠
그리고 진동발산 말고도 x^(1/3) 같은 함수 이용하면 존재성의 문제가 아니라, 도함수 극한을 사용했을 때 '아예 다른 값'이 나오게도 할 수 있습니다 처음 보면 굉장한 충격이죠
궁금하신 분은 핀셋 n제 시즌2 미적분 23을 참조...
!=