[이동훈t] 2025 사관학교, 경찰대 전문항 분석

2025 이동훈 기출

https://atom.ac/books/11758/

안녕하세요. 

이동훈 기출문제집의 

이동훈 입니다.

오늘은 

올해 사관학교, 경찰대 수학

전문항 분석을 해보겠습니다.

그 전에 ...

작년 수능

& 

올해 교육청 고3 3월, 5월, 6월, 7월

문항 분석도 참고하시길 바랍니다.

[이동훈t] 7월 수학 심층분석 (전문항)

https://orbi.kr/00068764284

[이동훈t] 6월 심층분석 (전문항)

https://orbi.kr/00068560986

[이동훈t] 5월 수학 심층분석

https://orbi.kr/00068066549

[이동훈t] 3월 수학 - 기출로 풀어보자 !

https://orbi.kr/00067880197

[이동훈t] 2024 수능 수학 분석 (+기본/실전개념+고1/중등)

https://orbi.kr/00067513545

올해 수능을 치루실 분들은

이번 사관학교, 경찰대 시험지를

반드시 푸셔야 하는데요 ...

경찰대의 경우

올해는 수능과 거리가 먼 문제가

23번 하나 정도이고 ...

나머지 문제들은

수능+평가원 기출을 푼 이후에

문풀 연습용(+이론 정리용)으로

적극 활용해도 좋을 것입니다.

이제 본론으로 들어가 볼까요 ?

< 사관학교 >

(a+b)^c != a^c + b^c

입니다.

이런 지점에서 실수를 하면 안되겠고요.

미분계수의 정의와 도함수의 정의에 대한

교과서 예제.

등비수열의 합과 분수식의 연산에 대한

전형적인 문제.

수열의 합과 일반항의 관계에 의하여

(분자) = a5 + a6 + a7

이므로

(a5 + a6 + a7) / (a1 + a2 + a3) = r^4 = 1/9

풀면

r = 1 / 루트3

이때, 

a5 = a1 * r^4,

a6 = a2 * r^4, 

a7 = a3 * r^4

가 바로 보여야 합니다.

답은

a5 / a7 = 1/r^2 = 3

즉, a7 = a5 * r^2

곱한 함수의 미분법에 대한 교과서 예제.

삼각함수의 주기와 최대최소에 대한 교과서 예제.

다항함수의 차수와 계수를 결정하는

교과서 연습문제.

붉은 상자: f(x)의 최고차항의 차수와 계수가 각각 2, 1/2

이때, f(x)=2x^2+... 

으로 두는 실수를 하면 곤란. (실수 포인트)

푸른 상자: f(2)=0 이므로

f(x)=1/2 * (x-2) * (x-alpha)

로 두고, 

이 식을 다시 푸른 상자에 넣어서 

alpha의 값을 구하면 됨.

교과서 연습문제 수준의 시그마 계산.

시그마 ak = A,

시그마 bk = B

로 두고 주어진 두 등식을 정리하면

2A + B + 55 = 60,

A - 2B + 10 = 10

(이때, 1을 10 번 더하는 것에 유의)

이제 연립일차방정식을 풀면 됩니다.

F ' (x) = f(x) 이므로

f(x) = 3*(x-1)*(x-alpha)

으로 두고,

F(x) 의 방정식에서

alpha, C 의 값을 결정하면 됩니다.

미적분 + 인수 정리에 대한 전형적인 문제.

x1 = 2t^3 - 9t^2 + 7t + 9,

x2 = t^2 + t + 1

두 점 사이의 거리에 대한 식을 세울 때,

절댓값이 들어가는 것을 잊지 마셔야 하고.

f(t) = | 2t^3 - 10t^2 + 6t + 8 |

절댓값 안의 삼차함수는 

t=1/3, 3에서 각각 극댓값, 극솟값을 갖고,

f(1) = | 6 | = 6, 

f(3) = | -10 | = 10

이므로 함수 f(t)의 최댓값은 10 이다.

이 과정에서 

함수 f(t)의 그래프의 개형을 그려야 합니다.

그리고 연속 함수의 최대최소에서

모든 극값, 양쪽 경계값을

구해서 대소비교 해야 한다는 점은

항상 강조해도 지나치지 않습니다.

세 점의 좌표를 모두 구하면

A(t, log2(t+1)), 

B(t, -log2(-t)+1), 

C(-1-2/t, -log2(-t)+1)

AB = log_2 9 에서

t에 대한 이차방정식이 유도되고

t=-1/3

(이때, 인수분해 하는 것보다는

(-1/3)^2-(-1/3)=2/9

임을 이용하는 편이 나음.

이 정도의 수감각은 있어야.)

마지막으로 선분 BC의 길이를

구하면 됩니다.

붉은 상자 : 사차함수 f(x)는 직선 x=3 에 대하여 대칭이다.

두 가지의 그래프의 개형이 가능한데.

(1) 극값의 개수가 1 인 경우

(2) 극값의 개수가 3 인 경우

(1)의 경우 

푸른 상자의 조건에서

-1 <= t <= 1 일 때,

함수 g(t)가 상수함수 일 수 없으므로

(2) 만이 가능하다.

이제 함수 f(x) 의 그래프의 개형을 결정하는 것은

극대점을 찾는 것과 같다.

푸른 상자 : 구간 [-2, 0] 에서 [0, 2] 까지 변할 때,

(이때 경계값이 0 임을 알아야 함.)

함수 g(t) 는 상수함수(=극댓값) 이다.

위의 그림처럼 (0, f(0)) 이 극대점이면

푸른 상자를 만족시킨다.

f ' (x) 의 방정식에서 

f(x) 의 방정식을 유도하고

f(2)=0 으로 

적분상수 C 의 값을 결정하면 된다.

어차피 

f(3) = f(5) = f(7) = 1

이므로 

f(4) + f(6) = 4

그런데 f(4), f(6) 의 최댓값은 2 이므로

f(4) = f(6) = 2

이 과정은 다른 문제들에서도

수 없이 반복된 것이고요.

문제에서 주어진

이차함수의 그래프를 그리면

위의 그림에서 k=5 는 찾아낼 수 있지만

(그럼에도 불구하고 계산으로 확인은 해야겠지요.)

-(4-k)^2 + 8 > 0,

-(6-k)^2 + 8 > 0

위의 연립이차방정식을 풀어야 합니다.

이 과정에서 근사적인 계산을 해야 하는데.

2 < 루트8 < 3

이므로

1.xxx < k < 6.xxx,

3.xxx < k < 8.xxx

이고

k=4, 5, 6 

이 나옵니다.

보이는 것보다는

사실 상당히 쉬운 문제 인데요.

문제 도입부에서 평가하는

고1 과정을 써보면.

A * B = 0 (필충) A=0 or B=0

f(x-1) 은 f(x)를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동시킨 것.

이렇게 두 가지이겠고.

아래와 같은 그림이 나옵니다.

t의 값을 inf 에서 -inf 까지 변화시키면서

g(t)가 불연속이 되는 순간을 찾으면

t=0 이지요.

t -> 0+ : g(t) -> 3

t -> 0- : g(t) -> 1

이니까요.

주어진 귀납적 정의를 이용하여

수열을 쓰는 

(이 문제의 경우에는 정방향)

전형적인 문제입니다.

계산 실수만 하지 않으면 되는 수준의

복잡도가 낮은 문제입니다.

아래가 수형도.

삼차함수의 점대칭성(변곡점), 

삼차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

(교점의 개수가 1, 2(접한다.), 3)

가 결합된 문제입니다.

주어진 조건에서

곡선 y=f(x) 와 y=x 의 교점의 개수가 1 또는 3 이면 

함수 g(x) 가 실수 전체의 집합에서

연속일 수 없습니다.

따라서 아래와 같은 그림을 그려야 합니다.

위의 그림에서

두 점 A, B 는 변곡점에 대하여

서로 대칭이므로

변곡점 (1, -2+C) 를

x 축의 방향으로 p/2, 

y 축의 방향으로 3p/2

만큼 평행이동시키면

B 가 되지요.

이때, 점 B가 직선 y=x 위에 있음을 이용하면

B (5-C/2, 5-C/2)

이 점이 곡선 y=f(x) 위에 있으므로

C에 대한 방정식을 유도하면

(C-3)*(C^2-6C-15)=0

C=3 이면 p=0 이므로 모순.

C^2-6C-15=0

을 풀면 답이 나옵니다.

이때, 둘 중 하나를 선택해야 하는데

보기에 둘 중 하나가 있으므로

이를 답으로 하면 되겠지요.

2*16=32, 2+16=18

이 좀 빠르게 보여야겠고요.

처음부터 끝까지

수식으로만 해결이 가능하겠으나.

아래 그림처럼 

서로 닮음인 직각삼각형 2개 그려서

풀면 직관적으로 빠릅니다.

수식적으로 보면 ...

|A|=|B| (필충) A=B or A=-B

을 적용하면

a5 = - a13

(만약 a5 = a13 이면 d=0 이므로 모순)

등차중항에 의하여

a9 = 0

그런데 a12 = 5 이므로 d > 0

이제 d 의 값 구한 후,

a24 값 구하면 됩니다.

기함수, 우함수에 대한

다항함수의 방정식 세우기와

정적분의 계산이 결합된

교과서 연습문제 수준의 

전형적인 문제입니다.

(가) : 함수 f(x) 는 원점 대칭이다.

f(x) = x^3 + ax

(단, a는 상수)

(나) : xf(x) 는 y 축 대칭이다.

2 * (적분구간 [0, 2] 에서의 정적분) = 144/5

위의 계산을 얌전하게 하면

a=3

이제 f(3) 의 값을 구하면 됩니다.

위의 그림처럼

한 각 A(=theta)를 공유하는 두 삼각형을

(ABC, APQ)

소재로 하는 문제입니다.

삼각형 ABC 에서 cos theta 의 값을 구하면

sin theta 의 값을 알게 되므로

(사각형 PBCQ 의 넓이)

= (삼각형 ABC 의 넓이) - (삼각형 APQ 의 넓이)

에서 선분 AP(=CQ) 의 길이를 구하면 되고.

마지막으로

삼각형 APQ 에서 코사인법칙을 적용하면

PQ^2 의 값을 구할 수 있습니다.

수능 스타일의

거의 모든 시험에서는

한 각을 공유하는 두 개 이상의 삼각형에

대한 문제가 출제됩니다.

반드시 익혀두어야 하는 주제이지요.

평가원, 교사경 기출에서 자주 다루었던

상황의 재출제.

(가) : 함수 f(x) 의 변곡점의 x 좌표는 2

(나) : x 축의 위치를 -inf 에서 inf 까지 올려가면서 

두 함수 f(x), g(x) 의 그래프를 그리면

아래의 그림을 얻는다.

(변곡점이 x 축 아래에 있는 경우도 가능)

위의 그림과 같은 상황은

기출 문제에서 상당히 자주 다루어졌으므로

그림을 그리는데 어려움이 없어야 합니다.

이제

f '' (x) -> f ' (x) -> f(x)

의 순서대로 방정식을 구하면

f(x) = x^3 - 6x^2 + C1x + C2

점 (0, f(0)) 에서의 접선이 점 (5, -f(5))를 지난다.

점 (5, -f(5))에서의 접선의 기울기는 f ' (0) 과 같다.

이 두 가지를 이용하여

두 상수 C1, C2 의 값을 구하면 됩니다.

전자의 조건만을 사용하면

접선이 점 (5, -f(5)) 에서

곡선 y=g(x) 를 뚫고 지나가는 경우를 

제외할 수 없으므로

후자의 기울기 조건까지 

반드시 따져주어야 합니다.

함수 f(x) 의 방정식을 보자마자

각 통일, 삼각함수 통일을

해야 할 생각이 들어야 합니다.

각 통일 : theta = 2x - 7pi/12

(이때, 13pi/12 - 2x + 2x - 7pi/12 = 90도

가 바로 보여야 함.)

삼각함수 통일 : cos theta

이 문제는 매우 전형적이지만,

다소 까다로운 이유는

f(x) 는 세 번 합성한 함수

즉, 

x -> theta -> cos  -> 이차함수

이기 때문입니다.

따라서 아래 그림과 같이

이차함수의 그래프와,

삼각함수의 그래프를

함께 그려주어야 합니다.

위의 그림처럼

alpha, beta 에 대응되는

두 수 A(=theta), B(=theta) 를

두고 계산해야 합니다. 

위에서 말한 것처럼

전형적이지만 중요한 문제이므로

이 문제는 온전히 이해될 때까지

여러 번 반복해야겠습니다.

곡선이 (반드시) 지나는 점, 

곡선이 (반드시) 지나는 영역에 대한

전형적인 문제.

(가) : A * B = 0 (필충) A=0 or B=0

이므로 

h(x)=f(x) or h(x)=g(x)

그런데 함수 h(x)는 

실수 전체의 집합에서 연속이므로

두 곡선 y=f(x), y=g(x) 의 교점을 기준으로

함수 h(x)는 f 에서 g 또는 g 에서 f 로 변해야 함.

(또는 f->f, g->g 일 수도 있음)

(나) : 두 함수 f(x), g(x)는 

x -> inf 일 때, f(x), g(x) 는 모두 무한대로 발산하므로

함수 h(x) 는 반드시 제1사분면 또는 제2사분면에

그려지거나, x 축과 만나야 함.

왜냐하면 어떤 열린 구간에서 

h(x) < 0

이면 (나)를 만족시키는 실수 k 의 개수는

무수히 많아 지기 때문.

위의 그림처럼

함수 h(x) 의 연속성을 고려해서 그리면

k=-2, 0, 2 뿐이고,

f(x) = x*(x-2)(x-alpha)

로 두고 [-3, 2] 에서 정적분 조건에서

alpha = 7 

두 곡선 y=f(x), y=g(x) 의 방정식을 연립하면

교점의 x 좌표는 8 이다.

위의 그림처럼

x=1, 9 일 때, 곡선 y=g(x),

x=6 일 때, 곡선 y=f(x)

의 방정식에 대입하면 된다.

이처럼 수능 또는 수능과 유사한 시험에서

(특히 난문의 경우)

곡선을 그릴 때에는

반드시 지나는 점,

반드시 지나는 영역을

먼저 생각해 주어야 합니다.

이게 문제 해결의 키가 되는 

경우가 아주 많으니까요.

이항분포에 대한 교과서 예제.

두 사건 A, B 가 서로 독립이므로

P(A|B) = P(A), 

P(A교집합B) = P(A)*P(B)

위의 두 가지를 이용하면 

빠르게 계산이 가능합니다.

재주를 부리는 것보다는 ..

위와 같이 일반항을 유도해서

p, r 에 대한 연립일차방정식을

푸는 것이 낫습니다.

표본평균 + 정규분포 에 대한

교과서 예제.

교과서 연습문제 수준의 

전형적인 문제.

(가): f(1) <= f(2) <= f(3) <= f(4) 

위의 부등식에서 

중복조합의 수를 써야 할 생각이 

들어야 하고요.

(나): 예를 들어 치역을 {1, 2} 로 두고

몇 개의 함수 f 를 만들어볼 생각이 

들어야 합니다.

위의 풀이처럼

전체를 두 개의 서로 다른 경우로

구분해야 합니다.

(왼쪽) {f(1), f(2), f(3), f(4)} 의 원소의 개수가 2

(오른쪽) {f(1), f(2), f(3), f(4)} 의 원소의 개수가 1

각각의 경우에 대하여 

경우의 수를 계산하면 위와 같습니다.

이웃한 두 수의 차들의 합이 짝수이다.

에서 2, 2, 4, 4, 4 를

모두 0, 0, 0, 0, 0 으로 

둘 생각이 들어야 합니다.

합이 홀수가 되는 경우를 모두 써보면

1100000

1010000

1001000

1000100

1000010

(& 각각의 경우에 대하여 역방향도 있음)

이고, 전체의 경우의 수에서 

위의 경우의 수를 빼주면 됩니다.

7!/2!2!3! - 2*5*5!/2!3!

여사건을 이용하지 않고

경우의 수를 구하는 것도

가능할 것입니다.

별 거 없는 것 같지만

순열, 조합, 중복순열 이 

모두 포함된 살짝 난이도가 있는 문제입니다.

확률분포는 위의 표와 같고요.

분모는 모두 4^4 (중복순열의 수)

P(1)의 분자는 4

(왜냐하면 흰흰흰흰, 검검검검, 파파파파, 빨빨빨빨

이렇게 4 가지 경우)

P(2)의 분자는

4C2 * (2^2-2)

4C2는 흰검파빨 에서 서로 다른 두 개를 선택하는 경우의 수,

예를 들어 흰검이 선택되었을 때,

2^2-2 는 흰검에 대한 중복순열의 수에서

흰흰흰흰, 검검검검 을 제외한 수

P(4)의 분자는

흰검파빨을 나열하는 순열의 수

P(3)의 분자는

여사건의 확률을 이용해서 구하면 됩니다.

교과서 연습문제 수준의 문제이지만

순열, 조합, 중복순열의 차이점을

생각하게 되는 좋은 문제입니다.

흰, 검, 노 를 각각 W, B, Y 로 두고

가능한 경우와 그 확률을

표로 정리하면 다음과 같습니다.

세 번째 시행까지 W 가 나올 수 없고,

네 번째 시행에 B 가 올 수 없지요.

네 번째 시행이 W 인 경우, Y 인 경우

이렇게 두 가지로 나누고

각각에 대하여 나머지 칸을 채우면 됩니다.

확률을 구하는 것도 크게 어렵지 않지만,

오히려 단순 계산에서 실수할 가능성이 좀 있습니다.

무한대 * 0 꼴이므로

합/차로 만들어진 식을

곱/나누기으로 만들어진 식으로

변형해야 합니다.

교과서 예제 수준의 문제.

xf(x) = x * e^(x^2)

에서 치환적분법을 적용할 생각이

들어야 하겠고요.

합성함수의 미분법과 역함수의 미분법이 

물리적으로 결합된 문제입니다.

특별하게 설명할 부분은 없습니다.

순간 이게 뭔가 ...

싶을 수도 있겠으나.

위의 그림에서 두 삼각형

OAB, OAD

의 넓이가 같음을 찾을 수 있어야 합니다.

이에 대한 기출은 워낙 많지요.

ln(x+1) / x^2 

의 적분인데 ...

(-1/x)' = 1/x^2

이므로 치환적분법이 아닌

부분적분법으로 접근해야 함을

알 수 있습니다.

식에 대한 감각이 떨어지는 분들은

(연습이 덜 된 거라고 봐야지 ...)

의외로 까다로울 수 있는 문제.

정적분으로 주어진 함수(가 포함된 방정식),

(곡선 위의 점에서의) 접선의 방정식,

곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이

가 물리적으로 결합된 문제입니다.

각 단계에 대한 전형적인 풀이를 

적용하다보면

어느덧 답이 나와있을 것입니다.

이차함수의 결정조건과 

초월함수(합성함수)가 극값을 가질 조건이

내적 결합된 좋은 문제입니다.

(뭔가 조금 더 다듬고 싶지만,

이 상태로도 훌륭하다고 생각합니다.)

이차함수 

x^2 + ax + b = 0

의 최고차항의 계수가 1 로 결정되어 있으므로

위의 붉은 상자 안의 조건이 있다면

(이차함수의 그래프에서는 두 절편을 잇는 선분의 길이) 

이 이차함수의 꼭짓점의 y 좌표가 결정이 됩니다.

(즉, 폭이 결정되면, 깊이가 결정된다.

이에 한 역도 성립합니다.)

이 사실을 알고 접근해도 좋고.

모른다고 해도

이차방정식의 근과 계수 와의 관계 

+

(beta - alpha)^2 = (beta + alpha)^2 -4alpha*beta

가 조건반사적으로 나와야 하고,

이 과정에서

이 이차함수의 꼭짓점의 y좌표가 결정됨을

문제를 풀다 보면 알게 됩니다.

풀이는 아래와 같고요.

이차함수의 결정 조건,

등비수열이 포함된 극한,

함수의 연속의 정의,

합성함수의 그래프 그리기(최대최소)

가 물리적으로 결합된 문제입니다.

풀이는 다음과 같습니다.

위의 풀이에서

f(1) = f(3) -> x=(1+3)/2=2 가 대칭축

-> f(x) = p(x-2)^2 + q (단, p!=0)

f(2), f(4) 는 부호가 같을 수 없으므로

f(2) = -f(4) 에서 q 를 p 로 표현할 수 있음을

미리 알고 있어야 하고.

f(1) = f(3) 은 이미 이용하였지만

f(1) = 1 (=k) 은 아직 이용하지 않았으므로

여기서 p, q, k 의 값이 모두 결정됨을

미리 알아야 합니다.

이차함수의 방정식을 결정하는 문제는

고1 과정에서 중요하게 다루고 있고,

기출문제에서도 상당히 자주 등장하므로

전형적인 풀이를 손에 익혀두어야 합니다.

이 정도의 

합성함수의 그래프의 개형을 

그리는 연습은 

충분히 되어 있어야 합니다.

점의 대칭(선/면), 두 점 사이의 거리에 대한

교과서 예제.

문제에서 주어진 기하적 상황을

아래와 같이 그림으로 그릴 수 있어야 합니다.

두 직선이 이루는 예각의 크기가 theta 이면,

두 벡터가 이루는 각의 크기는 90도-theta 이지요.

벡터의 내적에서

sin theta

의 값을 구하고,

c^2 + s^2 = 1

에서 cos theta

의 값을 구하면 되겠습니다.

쎈 B 에 아마도 있을 문제인데.

이런 단순한 문제도

정확하게 풀어내는 연습을

충분히 해두어야 겠습니다.

이런 문제는

보자 마자

삼수선의 정리

로 푼다.

라는 생각이 들어야 합니다.

한 각을 공유하는 두 개의 직각삼각형은

나오지 않는 해가 없고 ...

교과서 연습문제 수준의 문제이므로

전형적인 풀이가

바로 바로

손에서 나와야 합니다.

문제에서 주어진 상황을

그림을 그리면

다음과 같습니다.

위의 그림에서

두 점 P, Q 에서 준선 x=4 에

수선의 발을 내리는 것은

그냥 자동으로 나와야 하고요.

접점의 좌표를 (x0, y0) 로 두면

접선: y0*y = -16 * (x+x0)/2

곡선 위의 점: (y0)^2 = -16*x0

(x0)^2 + 25*x0 +144 = 0

근과 계수와의 관계에서

PF+QF = 25 + 8 = 33

이와 유사한 문제는

기출 뿐만 아니라

내신 대비 문제집에도

있으므로 ...

풀이 과정의 흐름을

손으로 익혀두어야 합니다.

벡터의 내적의 정의(기하),

코사인법칙이

물리적으로 결합된 문제입니다.

내신 시험에서도

자주 등장하는 기하적 상황이므로

어렵지 않게 풀 수 있어야 겠습니다.

아래의 풀이 처럼

직각이 바로 보여야 겠습니다.

벡터의 내적에서

직각은 항상 중요하니까요 ~

타원의 정의,

쌍곡선의 정의,

이등변삼각형의 성질,

이차곡선 끼리의 연립방정식 풀기

가 물리적으로 결합된 문제입니다.

이차곡선의 정의와 

이등변삼각형의 성질에 의하여

아래와 같이 선분의 길이가 결정됩니다.

a=1, b=루트6

이므로 쌍곡선의 방정식이 결정되고,

점 P의 x좌표를 구하기 위하여

타원과 쌍곡선의 방정식을

연립하면 됩니다.

문제에서 한 각을 공유하는 

두 심각형을 주긴 하였으나

이를 이용하여

(즉, 코사인법칙을 적용하면)

계산이 좀 아주 많습니다.

당연한 말이지만 ...

이런 문제를 풀 때에는 

공간지각력이 좀 있어야 한다는

생각이 듭니다.

그래서 기하는 

공간지각력이 약한 또는 거의 없는 분들이  선택하면 

상당히 곤란할 수 있는 과목이지요.

위의 그림에서

두 평면 ABCD, OBD 가 서로 수직임을

일단 파악해야 하고요.

위의 그림처럼

평면 OBD 와 직선 OA 가 점 O 에서

만나는 상황에서

서로 닮음인 두 직각삼각형

OAI, OMH

가 보여야 합니다.

이때, I는 점 A에서 평면 OBD 에 내린 수선의 발.

선분 AI 는 평면 ABCD 위에 있으므로

두 직각삼각형의 넓이가 같다.

를 이용하면 길이를 구할 수 있고.

삼각형의 닮음을 이용하면

선분 MH 의 길이가 나옵니다.

마지막으로 

직각삼각형 MBH 에서 

피타고라스의 정리를 적용하면

답을 구할 수 있습니다.

이 문제는

(다른 모든 기하 문제가 그러하듯)

적어도 3 개 이상의 서로 다른 풀이가 

가능한 것으로 보입니다.

공간도형과 평면도형의 성질이 

결합된 문제의 경우 ...

아직까지 문제화되지 않은

단순한(=좋은) 기하적 상황이

적잖이 남아 있는 것으로 보입니다.

(가): 점 C 는 중심이 A 이고 반지름의 길이가 4 인 원 위에 있다.

(나): 점 C 는 점 A 를 지나고 직선 OA 에 수직인 직선 위에 있다.

이 두 점 중에서 아래 그림과 같이 한 점으로 결정된다.

벡터 CP 내적 벡터 AP = 0

이므로 점 P 는 선분 AC 를 지름으로 하는 원 위에 있다.

이 원의 지름의 길이는 4 이다.

(원의 정의를 이용하여 위하여)

위의 그림처럼 작은 원의 중심을 O' 라고 하자.

벡터 OO' 와 같고, 종점이 O 인 벡터를 그리자.

(오른쪽 그림)

이제 

두 벡터 OP, OQ 의 합은

세 개의 벡터의 합과 같고,

위의 그림처럼

M, m 이 되는

두 점을 찾을 수 있다.

문제 전체가 기출에서 

수차례 다뤄진 것을 소재로 하고 있고

문제 형식도 그 동안 출제되었던

그대로 입니다.

여기까지가 사관학교 기출 입니다.

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아래는 경찰대 기출 입니다.

< 경찰대 >

(a+b)(ka-kb) = k(a+b)(a-b) = k(a^2-b^2)

이게 바로 보여야 합니다.

두 상수 a, b 가 서로 독립이므로

a, b 에 대한 표를 그려서 

각각의 경우를 따져주면 됩니다만.

매력적인 오답 (2번) 이 

존재하는 문제입니다.

보기에서 4 가 가장 작은 수이므로

교점의 개수는

a=1, b=4 : 2

a=2, b=2 : 5

a=4, b=1 : 4 (답)

의 세 경우를 우선적으로 따져주어야겠지요.

나머지 정리(고1)와 

등비수열의 합, 상수함수의 합이

물리적으로 결합된 문제입니다.

Rn(x) = an * x + bn

으로 두고 항등식을 만들고,

x=0, x=1 을 대입하면

an = 2^n - 1, bn = 1

Rn(2) = 2^(n+1) -1 

을 유도할 수 있습니다.

쎈 B 스텝에 오는 문제이므로

술술 ~ 풀려야 겠습니다.

문제에서 주어진 식 전체를 k (k=1, 2, 3, ...)

으로 두고 정리하면

2(n+1)+1 = 2^(k-1) * m^2

이때, 좌변은 항상 홀수이므로

우변도 홀수이어야 한다.

그러므로 k=1 이다.

이제 위의 등식을 다시 쓰면

2(n+1)+1 = m^2

(단, m 은 홀수)

m= 3, 5, 7, 9

각각에 대하여

n = 3, 11, 23, 39 (<=40)

따라서 구하는 답은 1 번.

별 것 없는 문제이긴 하지만

깔끔하게 풀어내는 것이

쉽지 많은 않습니다.

이 문제에 적용된 이론들을

꼼꼼하게 정리해보길 바랍니다.

(주어진 식)

= 1^3 + 2^3 + ... + 19^3

-2*(2^3 + 4^3 + ... + 18^3)

= 1^3 + 2^3 + ... + 19^3

-2^4*(1^3 + 2^3 + ... + 9^3)

위와 같이 주어진 식을 변형하는 이유는

자연수의 거듭제곱의 합의 공식을

적용해야 하기 때문이고.

A - B = (A + B) - 2B = 전체 - 부분

와 같은 발상은 

수능에서도

(도형의 넓이에 대한 문제에서)

자주 출제되고 있습니다.

합성함수의 연속성에 대한

가장 기본적인 유형 중의

하나 입니다,

풀이는 아래.

v = 4t^2 * (t-3) + 2k

삼차함수의 비율관계에 의하여

t=0 일 때, 극대

t=2 일 때, 극소를 갖고.

v(0) * v(2) = 2k * (2k-16) <0 

에서 k=1, 2, 3, ..., 7

워낙 자주 출제되는

문제입니다.

역시 술술~ 풀려야.

눈으로 바로 푸시는 분들도 많을 거고.

넓이 -> S=1/2 * bc * sin60도 = 4루트3, bc = 16

외접원의 반지름 -> 사인법칙 -> a = 4루트3

이게 바로 나와야 하고.

문제에서 

a+(b+c)

의 값을 요구하였으므로

코사인법칙에서

a^2 = (b+c)^2 -2bc -2bc*cos60도

b+c = 4루트6

이처럼

곱셈정리를 적용할 생각이

바로 들어야 합니다.

내신 시험에 나올 법한

매우 전형적인 문제이고,

문제를 읽고 나서

바로 풀이가 눈에 보여야 합니다.

수능에서는 고1 이 직접 출제 범위가 아니지만

최근에는 고1 이 거의 직접 출제 범위라고

느껴지는 문제들도 종종 출제되고 있으므로

위와 같은 문제도 반드시 익혀두어야 합니다.

방정식 f(f(x)) = f(x) 에 대한

전형적인 풀이를 적용하면

위의 그림과 같습니다.

이 정도의 풀이는

손에서 바로 나와야 겠습니다.

답은 

이차함수의 그래프와 직선 y=x 가 

접할 때 입니다.

곡선과 직선의 교점 (방정식의 연립),

두 점 사이의 거리와 직각삼각형,

이차방정식의 근과 계수와의 관계,

곱셈정리,

삼각함수가 포함된 함수의 M, m

(등호 성립조건)

이 물리적으로 결합된

역시 내신 시험에 자주 출제되는

유형의 문제입니다.

풀이는 아래.

시그마의 합 = 특정 값

또는

정적분의 값 = 특정 값

에 대한 문제는 

수능에서도

자주 다뤄지고 있습니다.

특정 값을 갖는 상황을

찾는 것을 발상적이라고

말하는 분들도 있지만

수학에서는

답을 먼저 찾고,

증명을 나중에 하는 경우가

대부분이라 ...

이런 사고과정을 묻는 문제들도

척척~

해결할 수 있어야 겠습니다.

아래는 풀이.

수열의 합과 일반항의 관계,

부분분수의 합,

수열의 귀납적 정의가

물리적으로 결합된 문제입니다.

최근 수능에서도

수열의 각 소단원을 결합시키는

문제들을 종종 출제하고 있습니다.

아래는 풀이.

세 개의 방정식

f(x) = -x+8, 

f(x) = 0, 

f(x) = x

의 풀면 아래와 같은 그림을 얻을 수 있습니다.

위와 같은 기하적 상황은

여러 문제집에서

자주 다루고 있고 ...

넓이는 

2 * (곡선과 y축 및 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓이)

+ (높이가 8인 직각이등변삼각형의 넓이)

로 구하면 됩니다.

아래 풀이처럼

주어진 방정식을 변형할 수 있어야 합니다.

| x-n | = log_2 (2n+-15)

으로 변형하였을 때, 주의해야 할 점은

n=8 일 때, 

곡선 y=2^|x-8| 과 직선 y=1 은

제 1 사분면에서 만난다.

입니다.

그런데 보기에 60 이 없기 때문에

한 번 더 풀이를 검토하게 되긴 하지요.

아래는 풀이

상당히 중요한 문제인데요.

(가), (나)에서 

함수의 대칭성을 고려하여 

정적분을 하면

c = -3/5 * a, 

d = -b/3

와 같이 결정되고.

ㄱ에서 제곱수의 성질을 이용하면

주어진 부등식은 항상 참입니다.

(등호는 b=0 일 때, 성립)

이제 다음과 같은 생각이 들어야 합니다.

ㄴ: 그래프 개형 없이 사잇값 정리 적용

ㄷ: 사잇값 정리 적용 + 

그래프의 개형까지 찾자.

ㄴ: f(-1) * f(0) <0

ㄷ: f(0)*f(1)<0

f ' (x) = 0 의 판별식의 부호가 양(+)이므로

이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

이때, 두 실근을 alpha, beta 라고 하자.

(단, alpha < beta)

즉, 함수 f(x) 는 극값을 갖는다.

alpha * beta < 0

이므로 두 실수 alpha, beta 의 부호는 다르다.

즉, alpha < 0 < beta

함수 f(x) 의 그래프는 

아래 풀이와 같다.

따라서 방정식 f(x) = 0 은

구간 (0, 1) 에서 

오직 하나의 실근을 갖는다.

역시 내신 대비 문제집에

자주 등장하는

유형의 문제입니다.

풀이는 아래.

곱한 함수

h(x) = f(x) * g(x)

의 x=a 에서의 미분가능성은

h ' (x) = f ' (x) * g(x) + f(x) * g ' (x)

에 대하여

h ' (a+) = h ' (a-)

임을 보이면 됩니다만.

위의 문제의 경우에는

보라 상자 안의 함수가 

실수 전체의 집합에서 

미분가능 하기 위해서는

붉은 상자 안의 함수가

x=0, x=2

를 인수로 가져야 합니다.

아래의 그림처럼

b (>3) 으로 잡고

두 구간 [0, b], [2, b]

에서 정적분이 0 일 조건에서

b, a 의 값을 이 순서대로

구하면 됩니다.

이런 기하적인 상황은

기출문제에서도 꽤 여러차례

등장한 바 있습니다.

분수함수가 포함된 함수의 연속성에 대한

종합 선물 세트 같은 문제입니다.

이 문제를 정확하게 풀 수 있다면

이 주제는 마스터 했다고 볼 수 있겠고요.

위의 수능 기출 문제를

정확하게 공부+연구 하였다면

큰 어려움 없이

해결이 가능했을 것입니다.

아래는 풀이. 

( + 이차방정식 x^2+ax+b=0 이 허근을 가져야 하므로

a^2 - 4b < 0 인 조건도 생각해야 합니다.

어차피 a+b>-1 에서 걸러지긴 합니다만. )

두 함수 f, g 의 인수를

위와 같이 잡을 수 있는 이유는

다음과 같습니다.

(이걸 정확하게 이해해야 합니다.)

삼차함수 g(x) 는 그래프의 개형과 관계없이

항상 x축과 한 개 이상의 점에서 만나므로

g(x) = (x-alpha)*(ax^2+bx+c)

로 두어야 합니다.

그런데 alpha 가 2 가 아니라면

함수 h(x) 는 x !=2 인 어떤 점에서

불연속 이므로

이는 가정의 모순입니다.

따라서 alpha = 2 이고,

조건 (가)의 왼쪽 극한에 의하여

g(x) = (x-2)*(x^2+ax+b)

로 둘 수 있습니다.

함수 h(x) 는 x=2 에서 연속이므로

f(x) 는 (x-2) 를 인수로 가져야 하고,

(가)의 오른쪽 극한에 의하여

f(x) 는 (x-1)^2 을 인수로 가져야 합니다.

만약 f(x) = (x-2)(x-1)(x-beta)

(단, beta != 1)

이면 

x -> 1+, x -> 1-

에 따라서 inf 또는 -inf 로 발산하므로

이는 가정에 모순.

이제 

x=2 에서의 함수 h(x) 의 연속성,

x->1 에서의 함수 1/h(x) 의 발산 조건,

방정식 h(x)=12 에 필충을 이루는

이차방정식의 중근 조건(판별식=0)

을 결합하면 

a, b 의 값을 결정할 수 있습니다.

이 문제는

위에서 말한 것처럼

매우 꼼꼼하게

복습해야 할 것입니다.

삼차함수와 직선의 교점의 개수가 2, 

절댓값이 포함된 함수의 미분가능성

이 물리적으로 결합된 

매우 전형적인 문제입니다.

위의 기출에 미분가능성을

결합시켰다고 볼 수 있겠습니다.

올해 경찰대 문제의 대부분이

이처럼 수능, 평가원, 교사경 기출을

조금씩 변형하였다고 볼 수 있습니다.

다만 23번 같이

여전히 실력정석 스타일의 문제도

포함되어 있긴 합니다.

아래는 풀이

(가): f ' (0)=0 

이처럼 시작은 

기하 가 아닌 산술적인 계산인 경우가

상당히 많지요.

(나): 곡선 접지 마시고 ...

f(x) = 3 또는 -3

이렇게 하시는게 좀 편하고요.

위와 같이 그림이 그려지겠지요.

(다): f ' (x) 는 다항함수 이므로

함수 | f(x) | 가 x=alpha 에서 미분가능하지 않으면

함수 g(x) 는 x=alpha 에서 미분가능하지 않고,

이 역도 성립합니다.

만약 함수 f(x) 가 x=0 에서 극솟값을 가지면

조건 (나)에서 k 의 개수는 1 이므로

가정에 모순입니다.

나머지는 계산.

교육청 기출에서

예전에 출제된 문제를

가볍게 변형한 문제입니다. (아래)

아무래도 투입되는 돈이 많을 수 없으니 ...

퀄 높은 문제를 뽑아내기 어려울 것이고,

올해 시험의 경우에는

수능, 평가원, 교사경 기출을

무리하지 않는 선에서 

변형하는 정도로 하자.

이런 느낌이 듭니다.

변곡점 은 아니구요 ...

위의 그림처럼 볼록한 곡선 위의 점에서의 접선이

점 (1, 0) 을 지날 때, 접점의 x 좌표가 최대가 됩니다.

등식에서 

같은 인수 끼리 지우면

계산도 간단해 집니다.

귀납적 정의가 별 없으니 ...

그냥 열심히 쓰면 되겠구나.

라는 생각이 들어야 합니다.

아래는 풀이.

예전에 출제되었던

수능 문제의 일부에 

해당하는 문제입니다. (아래)

문제에서 주어진 부등식에 대한 필충 조건을 쓰면

2^x <= x+n

위의 부등식을 보고

격자점을 그려야 할 생각이 들어야 하고.

(1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16), ...

에서 규칙이 바뀐다는 생각도

바로 들어야 합니다.

아래는 풀이.

수능에서는 출제되기 매우 힘든 

유형의 문제인데요.

그래도 변수가 2 개 이상 주어진

항등식의 변형에 대한

전형적인 풀이도 익혀두어서

나쁠 것이 없습니다.

아래는 풀이.

(가): 양변을 모두 전개 한 후에 

A*B=0 의 꼴을 만들어서

f ' (x) 의 방정식을 결정해야 하고요.

(나): 아래 그림처럼 구간 (0, 4) 에서

f ' (x) 는 제1사분면에 있어야 합니다.

아니면 f(0) >= f(4) 이니까요.

구간 [0, 4] 에서 

f ' (x) 가 선대칭 이므로,

f(x) 는 점대칭이고,

이를 정적분 계산에 적용할 수도 있겠으나 ...

그냥 계산해도 

10 초면 풀립니다.

아래는 풀이.

수능에서 출제되었던 문제를

변형한 문제입니다. (아래)

함수 f(x) 를 보자 마자

점대칭 이 보여야 합니다.

대칭점인 (1/2, 1/2) 이 

바로 보였다면 더 좋고요.

아래는 풀이.

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오늘 글 좀 길었다.

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9월 모평

초! 대박

기원 합니다 ~!

화이팅 ~!

ㅎㅍ~

2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)

https://orbi.kr/00066537545

2025 이동훈 기출 실전 개념 목차 

(참고로 2025 이동훈 기출은 수분감 + 뉴런 포지션 입니다.)

https://orbi.kr/00066152423

[이동훈t] 학습법, 수학 칼럼 링크 모음 ('23~'24)

https://orbi.kr/00066979648

고1 평가원 기출문제집 (PDF 무료 배포)

https://orbi.kr/00065355303

2025 이동훈 기출

https://atom.ac/books/11758/