9평 다가온 김에 렌즈 칼럼

렌즈 왼쪽에서 물체를 움직이며, 

물체의 위치에 따른 상의 크기를 나타내보겠습니다.

그래프가 대략적으로 이렇게 그려지겠죠. 

0.5f처럼 f보다 오른쪽은 허상이 생기는 곳이고,

3f처럼 f보다 왼쪽은 실상이 생기는 곳입니다.

딱 f에는 상이 생기지 않겠죠.

한편, y축에 '상의 크기' 대신 배율을 넣어도 똑같을 겁니다.

y축을 배율로 바꾼 뒤에, 알고 있는 사실 몇 개를 그래프에 추가해보겠습니다.

 첫 번째는 y절편이 1이라는 사실입니다. 

허상은 배율이 1보다 클 것이고, 

물체가 렌즈에 다가갈수록 배율이 1에 가까워질테니까요. 

(작도를 통해 생각해보세요)

두 번째는 2f에서 배율이 1이라는 점입니다. 

렌즈 문제를 많이 풀어봤다면 알고 있어야 할 사실이죠.

이렇게 그려놓고 보니, 왠지 모르게...

"그래프가 선대칭이진 않을까?" 

하는 생각이 듭니다. 

신기하게도 이 추측은 사실입니다. 그 말인즉슨

1.2f에서 배율과, 0.8f에서 배율이 같습니다. 

둘 다 f에서부터 같은 양만큼 떨어졌기 때문입니다. 

예를 들어, 문제에 이런 상황이 주어졌다고 합시다.

렌즈로부터 2L만큼 왼쪽에 물체를 뒀을 때와, 

렌즈로부터 8L만큼 왼쪽에 물체를 뒀을 때

생기는 상의 크기가 같다. 

그럼 독자는 f=5L이라고 바로 찾고 시작하는겁니다. 

근데 배율이 같을 때만 써먹을 수 있다면 활용도가 너무 떨어집니다. 

확장을 해보겠습니다. 

사실 이 그래프는 말이죠, y=1/x 처럼 반비례 관계를 찾을 수 있습니다.

잠시 y=1/x 그래프를 관찰해보겠습니다. 

위 그림처럼, 

y축으로부터 떨어진 거리가 1:3이라면

함숫값이 3:1이 됩니다.

이런 일이 배율 그래프 위에서도 생깁니다. 

이유는 뒤에서 소개해드릴 건데요, 

일단 예시를 통해 뭔 말인지 이해부터 해봅시다.

초점이 2L인 렌즈에서, 3L과 6L에 뒀을 때 배율이 궁금한 상황입니다. 

초점으로부터 떨어진 양이 1:4이므로, 

3L에서 배율이 4배입니다.

하지만 이걸론 부족합니다. 진짜 배율이 각각 몇인지 알고 싶으니까요.

이때 2f (여기선 4L)에서 배율이 1이라는 사실을 이용해줄겁니다.

4L에서 배율이 1이기 때문에,

4L에 비해 떨어진 거리가 절반인 3L에서는 배율이 2, 

4L에 비해 떨어진 거리가 2배인 6L에서는 배율이 1/2 입니다. 

이걸 이용해 아래 평가원 기출문제를 풀어보세요.

답은 1번입니다.

수직선 그어놓고 이 정도 표시만 해주면 바로 답이 나옵니다. 

한 번만 더 응용해보겠습니다. 

아래 그림처럼 

빨간 위치에 물체를 두면 배율이 1,

파란 위치에 물체를 두면 배율이 2라고 해봅시다. 

이때 초점의 위치를 바로 알 수 있습니다. 

2:1 내분점에 초점이 위치한다고 바로 찾을 수 있겠죠.

혹은,

초점이 여기에 있어도 말이 되겠네요. 

이번엔 2:1 외분점입니다. 

배율 그래프에서 '반비례 관계'를 찾을 수 있는 이유도 짧게 알아보겠습니다.

좌변은 배율을 의미합니다. 

우변은 그려보면...

 지금 변수가 a인겁니다.

변수를 헷갈리지 말라고 그림에는 a대신 x를 써뒀습니다.

식의 꼴을 보니 반비례인 이유를 아시겠죠. 

y=1/x 그래프를 f만큼 평행이동한 셈입니다.

근데 그동안 이런 거 없이 렌즈 문제 잘만 풀어오셨을 겁니다. 

사실 저도 많이 쓰진 않아요. 

그런데 은근히 이걸 쓸 각이 보일 때가 있습니다.

그 각을 본다면 계산과 시간의 측면에서 꽤나 이득을 봅니다. 

마치 여러분이 수학에서 

삼차함수 2:1 관계를 모든 문제에 쓰진 않으나, 

필요시 적재적소에 쓰는 것처럼요.

물론!! 본인이 렌즈에 숙달된 게 아니라면

이런 걸 익힐 때가 아닙니다. 

항상 기초가 우선입니다.

렌즈는 계산만 착실히 잘해도 다 잘 풀리니까요.

준비한 내용은 여기까지입니다.

아직 할 말들이 남아서, 

기회가 되면 렌즈2편도 가져오겠습니다.

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다음에 또 좋은 글로 찾아뵙겠습니다.

#무민 #물리학2