다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)
게시글 주소: https://test.orbi.kr/00069099108
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.
어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.
G번 문제는 다음과 같습니다.
구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.
실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.
수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.
삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)
해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.
0이 아닌 실수 c를 사용하여 
로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는
이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식
이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서
그리고, 여기에서 
이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.
검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다.
n≥2이고 xi<xi+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수
에 대하여 다음이 성립한다.
증명은 여기를 눌러서 보세요.
예제를 직접 만들어 봤습니다.
예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로
입니다. 계산하면
입니다.
기출문제에 적용해서 풀어봅시다.
2024학년도 고3 7월 미적분 28번
(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로
입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면
입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.
f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.
f'(x)=3x(x-α)+3이고, 
이므로 α=2입니다.
α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)2이고, f(x)=(x-1)3+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로
따라서
입니다.
2024/09/08 예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
졸리다 2
바바
-
어렸을때 구몬한자 배우면서 사이비가 한자인걸 깨닫고 충격먹었음 이게 무슨 헹가래가...
-
수능끝나면 연락준다고 했는데 아직까지 연락 없는거보면 사이비한테도 걸러진듯...ㅠㅠ
-
예 예 예 예예예 예 예 예 예 예 예 예예예예~
-
얼버기 4
-
씹덕만 들어와줘 26
이전 프사랑 지금프사 머가 더 나아?
-
애매하게 고대 붙어서 반수하는 것보다 아예 3떨하고 절치부심으로 쌩4수해서 당당히...
-
누가 글좀 써봐 8
나 심심해
-
고뱃은 설캠으로 따려고 안받음 그래야 합격 실감이 나지 않겠음?
-
맨날 들어도 어른들이시거나 또래 남자애들 뿐이었음
-
맞팔하실분 ㄱㄱ 4
저는 항상 잡답태그를 답니다
-
덕코복권 무서운 진실 11
이렇게까지 1등이 안나온 적도 있다
-
너도 내 맘 안다면 ?
-
심심하다 2
배고프다
-
근데 기분 좋음
-
인터넷 친구긴하지만 여기서 대화하는 분들중에서 친한분 3분이 인프피임
-
혼자 떠들고 있으면 관심을 한몸에 받고 있는 것 같아서 창피함
-
수능준비하면서 살이 너무쪄서 빼야하는데 계속 먹고싶어요 어떡하죠…
-
작년까진 못봤는데
-
설대 내신 0
평반고~ㅈ반고 내신은 몇점대까지 서울대 내신 BB받나요? 공대가고싶은 생각이...
-
참가자 없어서 참가만 하면 10만원 가져갈 것 같은데 기술이 없어서 기초적인...
-
복권돌리지마제발내꺼야 14
제발
-
사실 칼복학하면 6개월 세이프라고 봐도 되긴 하는데 이거 지금 2주째 고민중임
-
우울해지는 밤 14
왜인지는 몰라도 잠이 오고 mbti정체성까지 알아버리니 착잡해지네요 누군가가...
-
지민정우주정복 2
해동까지 n(<24)시간 남음 ㄷㄷ
-
롤 너무 어렵다 13
해본 게임 중에 젤 어려운거 같아
-
일찍 잠들었다 새벽에 깨고 낮에다시자고…
-
군대 어디로 가야 16
호시노 같은 분대장 밑에서 구를 수 있음?
-
머먹을까 1.불닭 2.간장양념불고기 3.쌀국수밀키트 4.치즈떡볶이밀키트 5.던킨도넛...
-
안 친하면 F고 나 혼자 있으면 반반 이게 맞다.
-
점점 쌓여가면서 풍경 변하는 과정 보는게 ㄹㅇ 참맛인데 말이죠
-
다 자뇨 17
흠.
-
ㅇㅇ? 여긴 아직 비오는데
-
10일 너무긺 ㄹㅇ 기다리느라 목빠지는줄
-
할때마다 i만 고정이고 나머지 랜덤룰랫 수준으로 나옴
-
알바할땐 e였는데 지금은 i,n,f,p 다 80~90퍼임 친구들이 다 그림으로 그린...
-
진학사가 실채점 나오고 갈수록 칸수 내려가고 짜게 된다는 사람들 말이 있는 거...
-
오르비에서 "이새낀 올때마다 있네..."를 듣는 것입니다
-
나 T야?? 17
이 정도면 F로 쳐주시죠 졸려서 T된듯 ㅇㅇ
-
아직 안 나온 건가요? 언제쯤 나오나요?
-
이거 들으면 피가 끓어오르는 것 같음 ㄹㅇ
-
최저 잡아야하는데 공통 47에 미적 8이에요.. 등급컷은 4나오는데 이투스는 57로 잡아서 ..
-
제법 시끄러울지도
-
혹시 여기 커플있어요? 아님 끝내주는 연애경험이 있거나.. 23
차단해버리게
-
-
오늘부터 갓생살려했단말임.
-
한 번도 안해봄
-
공룡중에 누가 젤 센지 말싸움 붙으면 나는 꼭 티라노가 아니라 타르보사우르스라고...
-
왜클릭 이아니라너무많아서못적음
-
이번주 금에 만나기로 했슴 근데 내친구는 안잘생겼는데
오.....
저걸 처음 생각해낸 사람은 도대체 뭘까
재밌는 성질 감사합니다