[박수칠] 우미분계수, 좌미분계수는 도함수의 우극한, 좌극한과 같은가?
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오르비 수학 태그에 매년 보이는 주제인데 올해도 어김없이 등장했네요.
박수칠 수학에서 설명한 방식으로 자세하게 알려드리겠습니다.
일단 용어의 정의부터~
우미분계수, 좌미분계수는 교육 과정에 없는 용어입니다.
편의를 위해 붙인거죠.
보통 미분계수의 정의
에서 우극한을 우미분계수, 좌극한을 좌미분계수라고 부릅니다.
미적분1, 2를 공부한 학생이라면 아래의 내용을 아실 겁니다.
함수 f(x)가
와 같이 정의될 때 x=a에서 미분가능하기 위해서는
g(a)=h(a), g'(a)=h'(a)가 성립해야 한다, (자세한 조건은 생략)
여기서 h'(a)가 우미분계수면서 도함수의 우극한일까요?
g'(a)가 좌미분계수면서 도함수의 좌극한일까요?
미적분1에서라면 g(x)와 h(x)는 다항함수입니다.
그럼 x≠a일 때 도함수가 다음과 같이 나타나죠.
간단하게
로 씁시다.
그리고 x=a에서의 미분계수 f'(a)는 미분계수의 정의에 따라
입니다.
우미분계수와 좌미분계수는 각각
가 되는데...
(우미분계수)=(도함수의 우극한), (좌미분계수)≠(도함수의 좌극한)
이네요.
여기에 '함수 f(x)가 x=a에서 연속'이라는 조건을 추가해야 g(a)=h(a)이기 때문에
가 됩니다. 이제야 (좌미분계수)=(도함수의 좌극한)이 됐네요.
따라서 미적분1에서
(우미분계수)=(도함수의 우극한), (좌미분계수)=(도함수의 좌극한)
이려면 '함수 f(x)의 연속'이 필요함을 알 수 있습니다.
그런데 말입니다...
미적분2로 가면 얘기가 달라져요.
함수
에서 g(x), h(x)가 다항함수가 아닐 수도 있거든요.
그러면 '함수 f(x)의 연속'을 추가해도
(우미분계수)=(도함수의 우극한), (좌미분계수)=(도함수의 좌극한)
이 성립하지 않을 수 있습니다.
예를 들어보죠.
이 함수의 x≠0일 때의 도함수는 다음과 같습니다.
그리고 x=0에서의 미분계수는 미분계수의 정의에 따라
가 되고, 우미분계수와 좌미분계수는 다음과 같습니다.
희한하게 생겼는데 좌우미분계수가 모두 0입니다.
그럼 도함수는 이렇게 되겠죠.
x=0에서 (우미분계수)=(도함수의 우극한)이 성립합니다.
그런데 x=0에서 도함수의 좌극한은 값이 존재하지 않네요.
고로 (좌미분계수)≠(도함수의 좌극한)이 입니다.
오호~ 도함수 f'(x)가 x=0에서 불연속이라 이렇게 되네요.
따라서 미적분2에서는 '함수 f(x)의 연속' 뿐만 아니라 '도함수 f'(x)의 연속'까지 보장되어야
(우미분계수)=(도함수의 우극한), (좌미분계수)=(도함수의 좌극한)
이 성립함을 알 수 있습니다.
수능 보는데 이렇게 까지 알아야 되냐구요?
구간별로 정의된 함수를 주고 미분가능성을 묻는 문제 가운데
함수의 연속성이 보장되었을 때
(우미분계수)=(도함수의 우극한), (좌미분계수)=(도함수의 좌극한)
이 성립하지 않는 경우는 없었습니다.
앞으로도 그럴거라 예상되구요.
그러니 화이팅!
[알림] 박수칠 수학 미적분2가 드디어 오늘 출고됩니다.
앞으로도 계속 관심 부탁 드릴께요~ ^^
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픟흐흐르ㅡ
퍄 갓수칠...
와~ 드디어 저도 이런 호칭을 들어보네요.
감격 ㅜㅜ
기벡 확통.....ㅛㅛ롬곡
빨리 써야 되는데...
마음만 앞서고 손가락이 안따라주네요 ㅜㅜ
ㅛㅛ롬곡은 첨 봤는데 신기하네요 ㅋㅋㅋ
헐 수능끝나고 보니까 아무것도 모르겠다.... ㅜ_ㅠ 저자님 박수칠 기본서 잘봤습니다 고1때 열심히봤네요 ㅎㅎ
와~ 제 책 보셨군요. 감사합니다 ^^
이노리에서 바뀌셧네요ㅋㅋ
다레데스카??
오버로드 히도인 '알베도'데스ㅋㅋㅋ
수2는 안나왓나요??
확통-기벡-수2 순서로 집필 예정입니다.
수2는 내년에...
개인적으로 오르비에서 어중이떠중이들 다 장사하게 받아주는건 문제가 있다고 봄.
어중이떠중이가 아니란 걸 보여드리겠음~
입조심좀하시길
저분 어디서 많이본것 같은데...
최근 오르비에서 대차게 까이신 분 아닌가요?
진작에 활정 안 당하고 살아있는게 기적일 급이죠
입조심하시죠? 이사람 쓰는 글 마다 이따위네 누가 누구보고 어중이떠중이라는지 사람이 예의가 없어도 이렇게 없나 끽해야 이제 고등학교 졸업했거나 20대 극초반일 인간이 해도 너무하네
이렇게 글 몇 개로 인성 바닥 보이기도 쉽지 않은데 참
개인적으로 오르비에서 이런 ㅂㅅ한테 댓글을 자비롭게 달아주는 건 문제가 있다고 봄.
앞으로 이런거 많이 부탁드려요!!
그 동안 오르비에 여러 주제로 자료 올렸었는데
아무래도 설명, 해설 쪽이 저한테 맞는 것 같더라구요.
설명거리 또 생각나면 정리해서 올리겠습니다.
감사합니다. 아까 감사하다는 댓글달았었느데..?ㄷㄷ
어디에 쓴 글 얘기신지... ^^a
그러니까... 도함수의 좌극한과 원함수의 좌미분계수는 엄밀하게 말하면 다른개념(?)이고
도함수가 연속이라면 연속의 정의에 의해 도함수의 좌극한과 원함수의 좌미분계수의 '값'이 같아져서 ' = ' 로 둬도 된다는 말씀이시죠?
그렇죠. 핵심 잘 짚으시네요~ ^^
한마디로 정리하면
도함수의 함수값(미분계수) 과 도함수의 극한값이 다른 경우도 있다는 겁니다.
물론, 도함수가 연속일 경우에는 관계없지만 일반적인 케이스는 아니지만 도함수가 불연속일 경우는 조심하자 !! 입니다^^
빙고!! 입니다^^
사견으로는 위의 sin이 포함된 특수 함수는 " 도함수의 함수값(미분계수)만 있으면 (설사 도함수가 불연속이라도) 미분이 가능하다" 로 접근해야 학생들이 좀 더 잘 이해 할것이라 생각합니다.
좌/우 미분계수로 설명하면 오히려 더 헷갈릴 소지가 있는거 같습니다.
- 지나가는 수학강사
본문과 같은 방식으로 설명한 이유는
저 주제가 해마다 반복해서 언급되는 이유 때문입니다.
함수 f(x)가 xx=a에서 미분가능하려면 좌우미분계수가 일치해야 하는데
좌미분계수는 g'(x)의 x→a일 때의 극한 g'(a)이고,
우미분계수는 h'(x)의 x→a일 때의 극한 h'(a)이니까
둘이 같으면 된다.
이렇게 알고서 내신이나 기출 문제에 적용하면 잘 풀렸는데
깊이 공부하다 보니 적용 안되는 경우가 있거든요.
이런 의문을 가진 학생들을 위해 글을 쓰다보니
좀 어려워졌습니다 ^^
물론 어떤 경우건 간에 선생님께서 얘기하신
'미분계수가 존재하면 미분가능하다'라는 기본 명제가
최우선이어야죠.
근데 시중문제집에는 저런문제 있음 본문 예시랑 똑같은문제
연속성 유형에서만 봤는데 미분가능성 유형에 실은 문제집도 있나보네요.
사실 도함수 연속성 얘기 나오면 거의 빠지지 않고 언급되는 함수입니다.
저기 중간부분부터 이해가 안됩니다.
(우미분계수)=(도함수의 우극한), (좌미분계수)≠(도함수의 좌극한)
좌미분계수부분에 분자가g(x)-h(a)로 되는것도 그렇고요..
밑에 미분2부분 사인나오는 것도 문과파트인가요??
아ㅜㅜ 재수해여되는데 잠시 안봤다고 생각도 안나네요
f(x)의 정의를 보면 x
좌미분계수에서 x→a-이므로 xx=a일 때는 f(x)=h(x)이므로 f(a)=h(a)가 성립합니다.
그래서 좌미분계수의 분자는 f(x)-f(a)=g(x)-h(a)가 되죠.
다음으로 좌미분계수는 lim_x→a- { g(x)-h(a) / x-a }인데
도함수의 좌극한은 g’(a)=lim_x→a { g(x)-g(a) / x-a }라서
(좌미분계수)≠(도함수의 좌극한)인 겁니다.
h(a)=g(a)라는 보장이 없으니까요.
삼각함수 이과꺼!!
아... 밑에 질문을 못봤네요.
본문에 써있듯이 미적분2에서 배우는 내용입니다.
일더하기일님 감사~ ^^
음 질문이 있는데요 위에 f(x)를 x값의 범위에 따라 g(x)와 h(x)로 나누셨을 때에는 한 쪽에 x=a에 해당하는 등호가 붙어있잖아요
근데 도함수 h'(x)와 g'(x)에는 왜 등호가 빠지게 되나요 ??
x≠a일 때의 도함수부터 구한거라 그렇습니다.
그 다음에 x=a에서의 미분계수를 조사해서 존재하는 걸로 나오면
도함수에도 등호를 추가하면 되구요.
헐 공부안한지 몇달안됬는데 벌써 머리가 굳었나봐요 ㅠㅠㅠ
공부 시작하심 감 되살아나는데 얼마 안걸릴거예요~
감사합니다 선생님 ㅠㅠ 이제야 글 봤어요 프린트로ㅜ뽑아서 정독중 ㅋㅋ
이해 안되는 부분 있으면 댓글 달아주세요~ ^^
가을쯤에 확통 나오면 정리용으로 미적분하고 꼭 보겠습니다 ㅋㅋ
확통 빨리 써야겠네요 ㅎㅎ
늦지 않게 잘 맞춰보겠습니다.
재밌네요 ㅋㅋ
오~ 수학을 즐길 줄 아는 분인듯! 반갑습니다 ^^
좌미분계수랑 우미분계수를 한국검인정교과서협회 기준 9개 출판사 모두 단한번도 언급하지 않았다고 하기엔 저도 면밀하게 보지 않아서 잘 모르겠다만 좌미분계수랑 우미분계수는 엄밀하게 정의되어있는 용어 맞습니다. 대한수학회에서 편찬한 수학백과사전에 정의되어있더라고요. 단순히 "편의상" 사용하는 용어는 아닌듯 싶습니다.
좌미분계수, 우미분계수가 교육과정에 없는 것은 확실합니다.
그리고 수학백과사전 확인해보니 정식 용어로 쓰이는 것도 맞네요.
좋은 정보 감사합니다!